417.F = (5x + 4yz)i + (5y + 4xz)j + (5z + 4xy)k.

418.F = (7x – 2yz)i + (7y – 2xz)j + (7z – 2xy)k.

419.F = (3x – yz)i + (3y – xz)j + (3z – xy)k.

420.F = (9x + 5yz)i + (9y + 5xz)j + (9z + 5xy)k.

10. Ряды

∞

421-430. Исследовать сходимость числового ряда ∑un .

n=1

e −

421. un =

n + 3

422. un =

n

.

.

n3

− 2

n

423. un =

1

424. un =

3n

.

.

(2n + 1)2 − 1

(2n)!

425. un =

n3

426.

un =

1

.

.

e n

(n + 1)[ln(n + 1)]2

427.	un =		2n + 1						428.	un =		n 2
							.							.
												(3n)!
				n2	n
429. un =			1						430.		un =		n n+1
								.							.
		(n + 1)ln(n + 1)											(n + 1)!

∞

431-440. Исследовать сходимость степенного ряда ∑an x n .

3		(n + 1)n
431. an =									.
					n!
433. an = (2n)! .
						n n
435. an =								n			.
				3n (n + 1)
					1			n
437. an = 1			+					.
						n

439. an =		3n
				.
		2n (3n − 1)

n=1

432. an

=

2n

.

n(n + 1)

434. an

=

3n n!

.

(n + 1)n

436. an =

5n

.

n n

438. an

=

n + 1

.

3n

(n + 2)

	440. an =	n + 2		.
		n(n + 1)

b

441–450. Вычислить определённый интеграл ∫ f (x)dx с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функ-

0

цию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

f (x) = e − x 2 / 3 , b=1.

f (x) = cos

441.

442.

x , b=1.

f (x) = xarctgx , b=0,5.

f (x) =

ln(1 + x 2 )

443.

444.

, b=0,5.

x

445.

f (x) = x ln(1 − x 2 ) , b=0,5.

446.

f (x) = xe − x , b=0,5.

447.

f (x) = arctgx 2 , b=0,5.

448.

f (x) = sin x 2 , b=1.

sin x 2

449.

f (x) =

, b=0,5.

450. f (x) =

1 + x 2 , b=0,5.

x 2

451–460. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения у = у(х) дифференциального уравнения y’ = f(x;y), удовлетворяющего начальному условию у(0) = у0.

451. y’ = cos x + y2; y(0) = 1.	452. y’ = ex + y2; y(0) = 0.
453. y’ = y + y2; y(0) = 3.	454. y’ = 2ey – xy; y(0) = 0.
455. y’ = sin x + y2; y(0) = 1.	456. y’ = ex + y; y(0) = 4.
457. y’ = x2 + y2; y(0) = 2.	458. y’ = sin x + 0.5y2; y(0) = 1.
459. y’ = 2ey + xy; y(0) = 0.	460. y’ = x + x2 + y2; y(0) = 5.

461–470. Разложить данную функцию f(x) в ряд Фурье в интервале (a;b).

461.	f (x) = x + 1	в интервале (–π;π)
462.	f (x) = x 2 + 1	в интервале (–2;2)

463.	f (x) =		π − x
	2
464.	f (x) = 1 +						x
	0,−π < x < 0
465.	f (x) = x,0 ≤ x < π
466.	f (x) =			1 − x
467.	f ( x) =				x
468.	f (x) = x − 1
469.	f (x) = x 2
	2,−π < x < π
470.	f (x) = 1,0 ≤ x < π

винтервале (–π;π)

винтервале (–1;1)

винтервале (–π;π)

винтервале (–2;2)

винтервале (–π;π)

винтервале (–1;1)

винтервале (0;2π)

винтервале (–π;π)

11. Уравнения математической физики.

Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. 471-480. Методом Даламбера найти уравнение u=u(x; t) однородной бесконеч-

ной струны, определяемой волновым уравнением	∂2u	= a 2	∂2	, если в начальный
			∂ 2
	∂t
			x

момент t0=0 формы струны и скорость точки струны с абсциссой х определяются со-

ответственно заданными функциями u

t

=0

= f (x) и

∂u

= F (x).

∂t

0

=0

t

0

471. f (x) = x(2 − x), F (x) = e− x .

472.

f (x) = x 2 ,

F (x) = sin x .

473.

f (x) = e x , F (x) = ω x .

474.

f (x) = cos x,

F (x) = ω x .

475.

f (x) = sin x, F (x) = v0 .

476.

f (x) = x, F (x) = cos x .

477. f (x) = sin x, F (x) = cos x .

478.

f (x) = x(x − 2), F (x) = e x .

479.

f (x) = cos x, F (x) = sin x .

480.

f (x) = e− x , F (x) = v

0

.

481-490. Представить заданную функцию ω=f(z),

где z=x+iy, в виде ω=u(x;

у)+iv(x; у); проверить, является она аналитической. Если да, то найти значение ее производной в заданной точке z0.

481. ω = (iz )3 ,

z0 = −1 + i .

482. ω = e − z 2

,

z0 = i .

483. ω = i(1 − z 2 )− 2z,

z

= 1.

484. ω = e1−2 z ,

z

=

π i

.

0

0

3

485. ω = z 3 + 3z − i,

z0 = −i .

486. ω = e1−2iz ,

z0

=

π

.

6

487. ω = 2z 2 − iz,

z0 = 1 − i .

488. ω = eiz 2

,

z0 =

π i

.

2

489. ω = z 3 + z 2 + i,

z0

=

2i

.

490. ω = ze z ,

z0 = −1 + iπ .

3

491-500. Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z0 и опреде-

лить область сходимости этого ряда.

491.

f (z ) =

1

,

z

=

5

.

492. f (z ) = sin

z

,

z

= 1.

3z − 5

0

3

1 − z

0

1

1

493. f (z ) = e z ,

z

0

= 0 .

494. f (z ) =

,

z

0

= i .

(z 2 + 1)2

495.

f (z ) = ln

z − 1

,

z

= 1.

496. f (z ) = cos

z

,

z

= 1.

0

0

z − 2

z − 1

1

1

(

)

497.

f (z ) =

,

z

0

= 0 .

498. f (z ) = e 1− z

,

z

0

= 1 .

z(z − 1)

499. f (z )=			z			= i .	500. f (z )=	1			= 3 .
				, z	0				, z	0
	z
		2	+ 1					(z − 3)2

501-510. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

501. x′′′ + x′′ = sin t; x(0)= 1, x′(0)= 1, x′′(0)= 0 .

502. x′′ − x′ = tet ; x(0)= 1, x′(0)= 1.

503. x′′′ − 2x′′ + x′ = 4; x(0)= 1,		x′(0)= 2, x′′(0)= −2 .
504. x′′ − 9x = e−2t ;	x(0)= 0,		x′(0)= 0 .
505. x′′ + x′ = t 2 + 2t;	x(0)= 4,		x′(0)= −2 .
506. x′′ + 9x = cos 3t;	x(0)= 1,		x′(0)= 0 .
507. x′′′ + x = 1; x(0)= 0, x′(0)= 0, x′′(0)= 0 .
508. x′′ − 4x = t − 1;	x(0)= 0,		x′(0)= 0 .
509. x′′ + 2x′ + x = cos t;	x(0)= 0, x′(0)= 0 .
510. x′′ + 3x′ + 2x = 1 + t + t 2 ;		x(0)= 0, x′(0)= 1.

511-520. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

			511. x′ = x − y,				x(0)= 1,					y(0)= 0 .
					y′ = x + y;
	x′ = −2x − 2 y − 4z,							(	)				(		)				( )
512.		′
	y		= −2x + y			− 2z,	x	0		= 1, y				0			= 1,		z	0		= 1.
	z′ = 5x + 2 y + 7 z;
		513. x′ + 4x − y = 0,						x(0)= 2,						y(0)= 3 .
					y′ + 2x + y = 0;
	x′ + 2x − z = 0,						)				(	)							(	)
514.				′		(										1							5
			y		− z = 0,	x 0		=	2,		y 0			=	2			,	z 0		=	2		.
	x + z − z′ = 0;
					x′ + 7 x − y = 0,				x(0)= 1,						y(0)= 1 .
	515. y′ + 2x + 5 y = 0;

x′

= − x + y + z,

( )

( )

(

)

516.

′

y

= x − y + z,

x

0

= 2,

y

0

= 2,

z

0

= −1.

z′ = x + y − z;

x′ − x + 2 y = 3,

x(0)= 0,

y(0)= 0 .

517.

3x′ + y′ − 4x + 2 y = 0;

x′ = y − z,

(

)

(

)

(

)

518.

′

y

= x + y,

x 0

= 1,

y 0

=

2,

z 0

= 3.

z′ = x + z;

x′ + y′ = 0,

x(0) = 1,

y(0) = −1.

519.

x′ − 2 y′ + x = 0;

x′ + y = 0,

x(0)= 1,

y(0)= −1.

520.

y′ − 2x − 2 y = 0;

12.Теория вероятностей и математическая статистика

521.Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает а) вес три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного билета.

522.В каждой из двух урн находятся 5 белых и 10 черных шаров. Из первой урны переложили во вторую наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется черным.

523.Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9. вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попал в цель; б) только два стрелка попали в цель; в) все стрелки попали

вцель.

524.Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 1200 раз.

525.Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равно 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает:

а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.

526.Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.

527.В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, взятых наудачу из этой партии, ровно три окажутся дефектными.

528.Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 и более 90 раз.

529.На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляются детали одного наименования. На первом станке изготовляют 10%, на втором – 30%, на третьем – 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8 – на втором станке и 0,9 – на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.

530.Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящая из 12 человек каждая. В двух урнах имеются по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Члены каждой команды вынимают наудачу билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат билет номер 6.

531-540. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х1 и х2, причем х1< х2. Известны вероятность р1 возможного значения х1, математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(Х). Найти закон распределения этой случайной величины.

531.р1=0,1; М(Х)=3,9; D(Х)=0,09.

532.р1=0,3; М(Х)=3,7; D(Х)=0,21.

533.р1=0,5; М(Х)=3,5; D(Х)=0,25.

534.р1=0,7; М(Х)=3,3; D(Х)=0,21.

535.р1=0,9; М(Х)=3,1; D(Х)=0,09.

536.р1=0,9; М(Х)=2,2; D(Х)=0,36.

537.р1=0,8; М(Х)=3,2; D(Х)=0,16.

538.р1=0,6; М(Х)=3,4; D(Х)=0,24.

539.р1=0,4; М(Х)=3,6; D(Х)=0,24.

540.р1=0,2; М(Х)=3,8; D(Х)=0,16.

541-550. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию слу-

чайной величины.
	0, x ≤ 0;
541. F (x)= x 2 , 0 < x ≤ 1;
	1, x > 1.
	0, x ≤ 0;
543. F (x)= x3 , 0 < x ≤ 1;
	1, x > 1.

0, x ≤ 1;

		2	− x
542. F (x)=	x			, 1 < x ≤ 2;
			2
			1, x > 2.
			0, x ≤ 1;
544. F (x)= 3x 2 + 2x, 1 < x ≤							1	;
					3
			1, x >		1	.
					3

0, x ≤ 2;

545. F (x)

x

=

− 1, 2 < x ≤ 4;

2

1, x > 4.

0, x ≤ 0;

2

547. F (x)=

x

,

0 < x ≤ 2;

4

1, x > 2.

0, x ≤ 0;

549. F (x)= 2 sin x,

0 < x ≤

π

;

6

x >

π

1,

.

6

0, x ≤ 0;

x

2

546. F (x)=

, 0 < x ≤ 3;

9

1, x > 3.

0, x ≤ −

π

;

2

548. F (x)= cos x,

−

π

< x ≤ 0;

2

1, x > 0.

0, x ≤

3π

;

4

550. F (x)= cos 2x,

3π

< x ≤ π ;

4

1,

x > π .

551-560. Известны математическое ожидание а и средне квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность по-

падания этой величины в заданный интервал (α; β).
551. а = 10, σ = 4, α = 2,	β = 13.	552. а = 9, σ = 5, α = 5,	β = 14.
553. а = 8, σ = 1, α = 4,	β = 19.	554. а = 7, σ = 2, α = 3,	β=10.

555. а = 6, σ = 3, α = 2,	β = 11.	556. а = 5, σ = 1, α = 1,	β=12.
557. а = 4, σ = 5, α = 2,	β = 11.	558. а = 3, σ = 2, α = 3,	β=10.
559. а = 2, σ = 5, α = 4,	β = 9.	560. а = 2, σ = 4, α = 6,	β=10.

561-570. Задана матрица Р1 вероятностей перехода цепи Маркова из состояния i (i=1, 2) в состояние j (j=1, 2) за один шаг. Найти матрицу Р2 перехода из состояния i

в состояние j за два шага.
		0,1	0,9					0,2	0,8
561. Р =				.	562. Р =					.
1						1
	0,2		0,8				0,3		0,7
		0,3	0,7					0,4	0,6
563. Р =				.	564.	Р =				.
1	0,4		0,6			1	0,5		0,5
		0,6	0,4					0,6	0,4
565. Р =				.	566. Р =					.
1						1			0,2
	0,7		0,3				0,8

			0,8	0,2					0,9	0,1
567.	Р =				.	568.	Р =				.
	1	0,9		0,1			1	0,2		0,8
			0,8	0,2					0,4	0,6
569. Р =					.	570. Р =					.
	1			0,8			1			0,9
		0,2						0,1

571-580. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания

−

а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю x , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.

	−			σ = 6.		−		σ = 7.
571. x =75,17,			n = 36,		572.	x =75,16,	n = 49,
	−			σ = 8.		−		σ = 9.
573. x =75,15,			n = 64,		574.	x =75,14,	n = 81,
	−			σ = 10.		−		σ = 11.
575.	x =75,13,	n = 100,			576.	x =75,12,	n = 121,
	−			σ = 12.		−		σ = 13.
577.	x =75,11,	n = 144,			578.	x =75,10,	n = 169,
	−			σ = 14.		−		σ = 15.
579.	x =75,09,	n = 196,			580.	x =75,08,	n = 225,