4.3. Выражение магнитного потока и энергии через векторный потенциал

Магнитный поток через индукцию

Используя теорему Стокса, получим:

. (4.16)

.

Согласно магнитный поток сквозь поверхностьравен линейному интегралу от векторного потенциалапо замкнутому контуру, ограничивающему эту поверхность.

Для вычисления магнитного потока по формуле (4.16) достаточно знать векторный потенциалтолько наконтуре, ограничивающем эту поверхность, т.е. интегрирование по поверхности заменяется интегрированием по контуру, что во многих случаях значительно упрощает расчеты. Сравнивая (4.16) и первое уравнение (4.2), можно провести формальное сопоставление (4.16) с законом полного тока, примененным к одиночному проводу с током : линии вектораохватывают магнитный поток подобно тому, как линии векторав однородной среде охватывают ток(рис. 4.1).

Известно, что с магнитным полем связана энергия, распределенная в пространстве с плотностью

, так как В = μН.

В некоторой области V она определяется интегралом

, так как .

Используя равенство получим

Преобразуем второе слагаемое по теореме Остроградского-Гаусса

При учете всей энергии поля подынтегральное выражение в последней формуле устремляется к нулю так как векторный потенциал и напряжение магнитного поля убывают быстрее, чем r ^–2, а площадь увеличивается пропорционально r². Таким образом, с учетом получаем:

.

Необходимо отметить, что величина не является плотностью энергии. Если предположить, что – плотность энергии магнитного поля, то немедленно следует, что вся энергия магнитного поля заключена в области, где(например, в проводах). Однако физически данное утверждение неверно, так как энергией обладают все точки, где, т.е. не только в области, где, нои вне ее (не только в проводах, но и вокруг них). Выражение (4.18) просто устанавливает связь между энергией поля и векторным потенциалом .

Для системы контуров с токами, ограничивающих объемы(рис. 4.2), энергию магнитного поля можно рассчитать по формуле

.

Рис. 4.2

Если контуры образованы линейными проводниками (линейные контуры), меняя наи переходя к интегралу по контуру, получим:

. (4.17)

С учетом (4.16) выражение (7.17) примет вид

, (4.18)

где – постоянный ток, протекающий по-му линейному контуру.

Формула (4.18) определяет магнитную энергию взаимодействия линейных контуров с токами (энергию магнитного поля, созданного системойконтуров с токами).

4.4.Граничные условия в магнитном поле

Система дифференциальных уравнений поля является математической записью законов магнитного поля постоянного тока для областей, в которых функции ,,инепрерывны и дифференцируемы. На границе раздела сред с разными магнитными свойствами эти функции терпят разрыв. Найдем общие условия, которым подчиняются составляющие векторов магнитной индукции и напряженности поля на границе двух сред с различными абсолютными магнитными проницаемостями₁ и _2.

Получим математическую запись законов поля на границе раздела сред, или граничные условия.

Обе среды будем предполагать однородными и изотропными. Пусть ₁ и ₂ – углы между направлением линии магнитной индукции и направлением нормали к поверхности раздела в первой и во второй среде (рис. 4.3, а). Составим линейный интеграл вектора Н по контуру abcda, стороны которого ab и cd лежат в разных средах бесконечно близко к поверхности раздела.

Имеем: т.к. сквозь поверхность, ограниченную контуром интегрирования, не проходит электрический ток. Принимая во внимание, чтоab = cd, получаем H₁sin₁ = H₂sin₂ или

.

На поверхности раздела равны касательные составляющие вектора напряженности магнитного поля.

Представим себе замкнутую поверхность, образованную двумя плоскими поверхностями s₁ и s₂, следы которых в плоскости рисунка суть линии ab и cd, и цилиндрической поверхностью, пересекающейся с плоскостью рисунка по линиям bc и ad. Магнитный поток сквозь эту поверхность равен нулю.

Следовательно, откуда, приняв во внимание, чтоs₁ = s₂ находим:

или

,

т.е., на поверхности раздела равны нормальные составляющие вектора В.

Из условий на поверхности раздела для векторов Н и В имеем:

или

Большое практическое значение имеет вопрос о характере магнитного поля в воздухе около поверхности стальных частей машин, трансформаторов, электромагнитов и других электротехнических устройств. Магнитные проницаемости ферромагнитной среды и воздуха сильно разнятся между собой. Для воздуха практически ₂ = ₀. Пусть для ферромагнитной среды ₁ = 1000₀. В таком случае имеем: tg₁ = 1000 tg₂. Если линии магнитной индукции внутри ферромагнитной среды (рис. 4.3, б) составляют с нормалью угол ₁ = 89^, то соответствующий угол в воздухе оказывается равным ₂  3^20^’. Поэтому во всех случаях, когда магнитное поле создается токами, протекающими по проводникам, расположенным в воздухе, практически можно принять ₂ = 0, т.е. считать, что линии магнитной индукции в воздухе нормальны к поверхностям тел из ферромагнитных материалов.