лекции(II курс)

в) не менее k раз;

P (A) = Pn(k) + Pn(k + 1) + . . . + Pn(n);	(6)
г) не более k раз
P (A) = Pn(0) + Pn(1) + . . . + Pn(k).	(7)

Пример. С среднем 70 процентов клиентов возвращают кредиты в банк в срок. Найти вероятность того, что из 5 клиентов в срок вернут кредит не менее двух; не более 4.

p = 0, 7, q = 0, 3, n = 5, m ≥ 2, m ≤ 4.

а) Используя формулу (6), получим

P (A) = P5(2) + P5(3) + P5(4) + P5(5) = 0, 969.

Можно посчитать искомую вероятность, пользуясь формулой P (m ≥ 2) = 1 − P (m <

2)= 1 − (P5(0) + P5(1)) = 1 − 0, 031 = 0, 969.

б) Используя формулу (7), получим

P (A) = P5(0) + P5(1) + P5(2) + P5(3) + P5(4) = 0, 83.

Èëè, ò.ê. P (m ≤ 4) = 1 − P (m > 4) = 1 − (P5(5)) = 1 − 0, 16807 ≈ 0, 83.

3.2. Формула Пуассона.

Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, но ìàëà, число независимых испытаний n достаточно велико, а произведение

np = λ ≤ 10, то вероятность Pn;m того, что в этих испытаниях событие A наступит

m раз, находится по формуле
	λm
Pn;m ≈		e− .	(8)
	m!

Формула (8) называется формулой Пуассона. Для упрощения расчетов, связанных

с ее применением, составлена таблица III значений функции Пуассона.

Пример. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

Имеем: p = 0, 004−ìàëî, n = 1000−велико, λ = p · n = 0, 004 · 1000 = 4 ≤ 10, применим формулу Пуассона (8). По таблице III при λ = 4, m = 5

P5;1000 ≈ 0, 1563.

3.3. Локальная теорема Муавра Лапласса.

Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна (ìàëà) и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Pm;n того, что в n независимых испытаниях событие A наступит m раз, находится по формуле

	Pm;n ≈				f(x)		,		(9)
					√
						npq
ãäå	m − np
x =				,		q = 1		−	p,
	√
		npq

21

а функция f(x)−функция Гаусса, определенная равенством

1			e−	x2
f(x) =	√			2 .
		2π

Формула (9) называется локальной формулой Муавра Лапласса. С возрастанием n относительная точность значений возрастает, в этом и заключается содержание локальной теоремы Муавра Лапласса. Для упрощения расчетов, связанных с применением этой формулы оставлена таблица I значений функции Гаусса. Пользуясь таблицей, необходимо учитывать следующие свойства функции Гаусса.

1) Функция f(x) является четной, поэтому в таблице приведены значения функции лишь для положительных значений аргумента.

2)Функция f(x) монотонно убывает при положительных значениях, а предел ее при x → ∞ равен нулю.

3)Åñëè x > 5, то можно считать, что f(x) ≈ 0. 4) Максимальное значение функции f(x)

1
f(0) = √2π	≈ 0, 3989.

Y

0,3989

X

Пример. Найти вероятность того, что при 600 выстрелах мишень будет поражена 250 раз, если вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,4.

Воспользуемся формулой (9) при n = 600, m = 4, p = 0, 4, q = 0, 6.

x =		4 − 600 · 4					=	10			0, 833.
	√600		·	0, 4	·	0, 6		12		≈

По таблице I значений функции, находим f(0, 833) ≈ 0, 2820. Поэтому, согласно формуле (9)

P250;600 ≈ f(0, 833) ≈ 0, 0235.

12

3.4.Интегральная теорема Муавра Лапласа.

Âпредыдущих параграфах была решена задача о нахождении вероятности того, что

ân независимых испытаниях событие произойдет m раз. Однако часто нужно знать вероятность того, что это число окажется заключенным в некоторых границах. Ответ на

поставленную задачу дает следующая теорема

Теорема. Если вероятность наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях число наступлений события A окажется заключенным в границах от a до b включительно ( a < b), находится по формуле

Pn(a ≤ m ≤ b) ≈ 0, 5[Φ(x2) − Φ(x1)],

(10)

22

ãäå

a − n · p

b − n · p

x

=

, x

=

,

1

√

2

npq

√

npq

а функция Φ(x) определена равенством

2

x

t2

∫0

e−

Φ(x) =

√

2 dt.

2π

Формула (10) называется интегральной формулой Муавра Лапласса. Необходимым условием применения теоремы является неравенство: npq ≥ 20 (в очень редких

случаях npq ≥ 10).

Получаемые по интегральной и локальной формулам Муавра Лапласса вероятности достаточно точны, если произведение npq составляет несколько сотен. В задачах, не тре-

бующих большой точности ответа, можно пользоваться этими формулами и в случаях, когда произведение npq имеет небольшое значения, однако не меньше 20.

Функция Φ(x) табулированная, таблица ее значений таблица II. Чтобы пользоваться этой таблицей необходимо знать свойства функции Φ(x).

1)Функция Φ(x) нечетна.

2)Функция Φ(x) монотонно возрастает.

3)Φ(0) = 0.

4)Предел функции Φ(x) ïðè x → ∞ равен единице.

5)Для всей значений x > 5 можно считать Φ(x) ≈ 1.

Y

1

X

-5	5

-1

Если границы допустимых значений числа наступлений события A симметричны относительно произведения np (одна меньше, другая больше на одно и то же число), то

формула (10) упрощается.

Следствие 1. Если вероятность наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях абсолютная величина отклонения числа наступлений события A от произведения np не превзойдет положительного

числа r, находится по формуле

Pn(|m − np| ≤ r) ≈ Φ(	r
	√npq ).	(11)

Пример. Пусть вероятность того, что покупателю необходима женская обувь 36-го размера, равна 0,3. Найти вероятность того, что среди 2000 покупателей таких окажется: а) не менее 575; б) от 570 до 630 включительно.

23

а) не менее 575 означает, что покупателей окажется от 575 до 2000 включительно. Применим формулу (10)

x

=

575

− 2000 · 0, 3

1, 220; x

=

2000 − 2000 · 0, 3

68.

1

√0,

3

·

2000

·

0, 7

≈ −

2

√0, 3

·

2000

·

0, 7

≈

Согласно формуле, имеем

P (575 ≤ m ≤ 2000) ≈ 0, 5[Φ(68) − Φ(−1, 220)] ≈ 0, 8888.

б) Заметим, что границы числа покупателей, нуждающихся в обуви 36-го размера, одинаково отличаются от произведения np = 2000 · 0, 3 = 600. Поэтому, применим формулу

(11)

P (|m − 600| ≤ 30) ≈ Φ(	√		30				) ≈ Φ(1, 464) ≈ 0, 8568.
		2000	·	0, 3	·	0, 7

Следствие 2. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаний абсолютная величина отклонения частости события A от его вероятности p не превзойдет данного положительного числа , находится по формуле

	m			n
Pn(|		− p| ≤ )	≈ Φ( √		).		(12)
	n			pq

Пример. С конвейера сходит в средней 85деталей первого сорта. Сколько деталей надо взять, чтобы с вероятностью 0,9973 можно утверждать, что отклонение доли изделий 1-го сорта от вероятности 0,85 не превзойдет 0,01.

Имеем: p = 0, 85, = 0, 01, P = 0, 9973, n−?

Воспользуемся формулой (12)

	m	√
			·
Pn(|		− 0, 85| ≤ 0, 01) ≈ Φ(0, 01		n		) = 0, 9973.
	n			0, 85	0, 15

По таблице, находим, что Φ(3) = 0, 9973, следовательно

√

n

0, 01 0, 85 · 0, 15 = 3,

Откуда n = 11664.

Контрольные вопросы.

1)Формула Бернулли.

2)Формула Пуассона.

3)Локальная теорема Муавра Лапласса.

4)Функция Гаусса и ее свойства.

5)Интегральная теорема Муавра Лапласса.

6)Функция Лапласса.

24

Тема 4. Случайные величины. 4.1. Основные определения.

Определение. Случайной величиной называется переменная, которая может при-

нимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств.

Пример. число попаданий в цель, число проросших семян и т.д.

Обозначаются случайные величины X, Y, Z и т.д. Возможные значения этих случай-

ных величин обозначаются соответственно: x1, x2, . . . , xn; y1, y2, . . . , yn; z1, z2, . . . , zn.

Все случайные величины делятся на две группы: дискретные; непрерывные.

Определение. Случайная величина называется дискретной, если множество ее зна-

чений конечно или счетно.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если множество ее значений представляет некоторый промежуток.

Например: рост, вес, стаж работы и т.д.

Случайная величина считается заданной или определенной если известны все ее зна- чения xi и вероятность P (X = xi) = pi. Т. е. каждому значению xi соответствует своя вероятность pi.

Определение. Функция p(x), связывающая значения случайной величины с соответ-

ствующими им вероятностями, называется функцией распределения случайной вели- чины.

Для дискретной случайной величины она задается в виде таблицы

X x1 x2 . . . xn

P p1 p2 . . . pn

которая называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения может быть изображен графически, если по оси абсцисс отклады-

вать значения случайной величины, а по оси ординат соответствующие им вероятности. Соединение полученных точек образует ломанную, называемую многоугольником èëè

полигоном распределения вероятностей.

Непрерывные случайные величины задаются только аналитически, в виде функции распределения.

4.2. Закон распределения дискретной случайной величины.

X	x1	x2	. . .	xn
P	p1	p2	. . .	pn

При составлении закона распределения возможные значения xi не вычисляются, а за-

писываются по смыслу задачи.

Соответствующие им вероятности вычисляются по любой из формул теории вероятностей.

События X = xi(i = 1, 2, . . . , n) являются несовместными и единственно возможными, т.е. они образуют полную группу событий. Поэтому сумма их вероятностей равна 1:

∑n

p1 + p2 + . . . + pn = = 1.

i=1

Данное равенство можно использовать в качестве контроля правильного решения.

25

Пример. Два стрелка стреляют по мишени один раз, вероятность попадания первого стрелка 0,7; второго 0,8. Составить закон распределения числа попаданий в мишень.

X число попаданий в мишень

X	0	1	2
P	0,06	0,38	0,56

p1 = P (X = 0) = 0, 3 · 0, 2 = 0, 06; p2 = P (X = 1) = 0, 7 · 0, 2 + 0, 3 · 0, 8 = 0, 38; p3 = P (X = 2) = 0, 7 · 0, 8 = 0, 56.

Среди всех дискретных случайных величин выделяют: биномиально распределенные; распределенные по закону Пуассона.

Определение. Случайная величина X называется биномиально распределенной, если

при составлении закона распределения подсчет вероятностей проводится по формуле

Бернулли

Pn;m = Cnmpmqn−m.

Если при составлении закона распределения подсчет вероятности каждый раз проводится

по формуле Пуассона,

Pm;n ≈ λm e− . m!

то такая случайная величина распределена по закону Пуассона (закон редких событий).

4.3.Математические операции над случайными величинами.

1)Умножение на число. Произведение kX случайной величины X на постоянную

величину k это новая случайная величина, которая с теми вероятностями, что и случайная величина X, принимает значения, равные произведениям на k значений случайной величины X. Следовательно ее закон распределения имеет вид

k · X	k · x1	k · x2	. . .	k · xn
P	p1	p2	. . .	pn

2)Квадрат случайной величины X, ò.å. X2−новая случайная величина, которая

ñтеми же вероятностями, что и случайная величина X, принимает значения, равные квадратам ее значений.

X2	x12	x22	. . .	xn2
P	p1	p2	. . .	pn

Пример. Составить закон распределения квадрата случайной величины X, закон распределения которой имеет вид:

	X		-1		0		1		3		5
	P		0,1		0,2		0,3		0,15		0,25
Имеем:
		X2		0		1		3		5
		P		0,2		0,4		0,15		0,25

Вероятность 0,4 для значения 1 получена по теореме сложения как сумма вероятностей,

ñкоторыми случайная величина X принимает значения 1 и -1.

3)Суммой двух случайных величин X è Y называется новая случайная величина

X + Y, которая принимает все значения вида xi + yj, (i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m) ñ

26

вероятностями pij, выражающими вероятность того, что случайная величина X примет значение xi, à Y −значение yj, ò.å.

pij = P (X = xi; Y = yj) = P (X = xi)P (Y = yj).	(1)
Аналогично определяются разность и произведение случайных величин X è Y .	X −
4) Разность случайных величин X è Y это новая случайная величина

Y , которая принимает все значения вида xi − yj, с вероятностями pij, определяемыми формулой (1).

5) Произведение случайных величин X è Y новая случайная величина XY ,

которая принимает все значения вида xiyj с вероятностями, определяемыми по формуле

(1)

Пример. Составить закон распределения X + Y, X − Y, X · Y , åñëè

X	-3	0	1
P	0,4	0,5	0,1

Решение. Cоставим вспомогательную таблицу

X	Y	X+Y	p
-3	0	-3	0, 4 · 0, 3 = 0, 12
0	0	0	0, 5 · 0, 3 = 0, 15
1	0	1	0, 1 · 0, 3 = 0, 03
-3	3	0	0, 4 · 0, 7 = 0, 28
0	3	3	0, 5 · 0, 7 = 0, 35
1	3	4	0, 1 · 0, 7 = 0, 07

X + Y	-3	0	1	3	4
P	0,12	0,43	0,03	0,35	0,07

X	Y	X-Y	p
-3	0	-3	0,12
0	0	0	0,15
1	0	1	0,03
-3	3	-6	0,28
0	3	-3	0,35
1	3	-2	0,07

X − Y	-6	-3	-2	0	1
P	0,28	0,47	0,07	0,15	0,03

	X	Y	X · Y	P
	-3	0	0	0,12
	0	0	0	0,15
						X · Y	-9	0	3
	1	0	0	0,03
						P	0,28	0,65	0,07
	-3	3	-9	0,28
	0	3	0	0,35
	1	3	3	0,07

4.4.Характеристики дискретной случайной величины и их свойства.

Êосновным характеристикам дискретной случайной величины относятся математиче- ское ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Определение. Математическое ожидание (M(X)) дискретной случайной величины X называется число равное сумме произведений всех ее значений на соответствующие

им вероятности:

∑n

M(X) = x1p1 + x2p2 + . . . + xnpn = xipi.

i=1

27

Пример.

X	-1	0	2
P	0,8	0,1	0,1

M(X) = −1 · 0, 8 + 0 · 0, 1 + 2 · 0, 1 = −0, 6.

Математическое ожидание случайной величины постоянная величина. Оно показывает, какое значение случайной величины следует ожидать в среднем при испытаниях или наблюдениях.

Свойства математического ожидания.

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой этой постоянной.

M(C) = C, C − const.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

M(kX) = kM(X).

3) Математическое ожидание суммы, разности и произведения случайных величин равно сумме, разности и произведению их математических ожиданий.

M(X ± Y ) = M(X) ± M(Y ).

4) Если случайная величина X уменьшается или увеличивается на одно и то же число

C, то ее математическое ожидание уменьшится или увеличится на то же число C.

Определение. Дисперсия (с лат. разброс, отклонение) дискретной случайной величины X математическое ожидание квадрата отклонения ее от математического

ожидания, т.е.

D(X) = M[X − M(X)]2,

èëè

∑n

D(X) = (x1 − M(X))2p1 + (x2 − M(X))2p2 + . . . (xn − M(X))2pn = (xi − M(X))2pi.

i=1

Пример. D(X) = (−1 − (−0, 6))20, 8 + (0 − (−0, 6))20, 1 + (2 − (−0, 6))20, 1 = 0, 84.

Дисперсия случайной величины постоянная величина. Она является ее второй обобщающей теоретико вероятностной характеристикой.

Определение. Средним квадратическим отклонением σ(x) случайной величины X

называется арифмитическое значение корня квадратного из ее дисперсии, т.е.

√

σ(x) = D(X).

Среднее квадратическое отклонение характеризует степень отклонения случайной величины от ее математического ожидания и имеет размерность значений случайной вели- чины.

28

Свойства дисперсии.

1)Дисперсия постоянной равна нулю.

D(C) = 0.

2)Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом

âквадрат.

D(kX) = k2D(X).

3)Дисперсия суммы и разности двух случайных величин равна сумме их дисперсий

D(X ± Y ) = D(X) + D(Y ).

4) Дисперсия произведения двух случайных величин равна произведению их дисперсий.

D(X · Y ) = D(X) · D(Y ).

5) Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

D(X) = M(X2) − (M(X))2

данная формула гораздо больше применяется при непосредственном подсчете D(X).

4.5. Функция распределения и ее свойства.

Функция распределения случайной величины X формула, выражающая зависимость всех значений X с соответствующими им вероятностями, т.е. функция распределения это еще один способ задания случайной величины. Он носит универсальный характер, т.к. с помощью функции распределения задаются дискретные и непрерывные случайные величины.

Определение. Функцией распределения случайной величины X называется функция F (x), выражающая для каждого x вероятность того, что случайная величина X примет какое нибудь значение, меньшее x.

F (x) = P (X < x).

Будем говорить, что известно распределение случайной величины X, если известна ее функция распределения F (x).

Функция распределения каждой дискретной случайной величины постоянна на интервалах, на которых нет ее значений, и имеет скачки в точках, соответствующих ее зна- чениям. Скачки равны вероятностям, с которыми случайная величина принимает свои значения.

Рассмотрим общие свойства функции распределения.

1) Вероятность того, что случайная величина X примет какое нибудь значение, удовлетворяющее неравенству x1 ≤ X ≤ x2, равна приращению ее функции распределения F (x) на этом интервале.

P (x1 ≤ X ≤ x2) = F (x2) − F (x1).

(2)

2)Функция распределения любой случайной величины является неубывающей функ-

öèåé.

3)Область определения (−∞; +∞), множество значений [0; 1].

29

Y

1

X

0

График F (x) для дискретной случайной величины ступенчатая фигура.

Для непрерывной случайной величины F (x) сплошная линия, без разрывов (она зада-

ется условием задачи).

Пример. Найти функцию распределения и построить ее график, если

	X			-1		0				2
	P		0,8			0,1			0,1
				0,			x < −1
							≤
F (x) =				0, 8		−1			≤ x < 0
				0, 9		0				x < 2
				1		2 ≤ x < ∞

	Y
	1
	0,9
	0,8
	X
-1	0

Пример. Дана функция распределения дискретной случайной величины

Y

1

0,7

0,2

X

-1

0

1

2

3

30