лекции(II курс)

Найти закон распределения и числовые характеристики этой случайной величины.

X	0	2	3
P	0,2	0,5	0,3

M(X) = 1, 9, D(X) = M(X2) − (M(X))2 = 4, 7 − 1, 92 = 1, 09.

4.6. Непрерывные случайные величины.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения всюду непрерывна, а производная функции распределения непрерывна во всех точках, за исключением, быть может, конечного числа точек на любом конечном интервале.

Определение. Плотностью вероятности φ(x) непрерывной случайной величины называется производная ее функции распределения F (x), ò.å.

φ(x) = F ′(x).

Плотность вероятности φ(x), как и функция распределения F (x), является одной из

форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует

только для непрерывных случайных величин.

График плотности распределения называется кривой распределения.

Свойства плотности вероятности.

1) Плотность вероятности неотрицательная функция, т.е.

φ(x) ≥ 0.

2) Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [a; b] равна интегралу от ее плотности вероятности в пределах от a до b, т.е.

∫ b

P (a ≤ X ≤ b) = φ(x)dx.

a

3) Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле

∫ x

F (x) = φ(x)dx.

−∞

4) Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице

∫ +∞

φ(x)dx = 1.

−∞

31

4.7. Характеристики непрерывных случайных величин.

Основными характеристиками непрерывных случайных величин являются математическое ожидание (M(X)), дисперсия (D(X)), среднее квадратическое (σ(X)), ìîäà

(Mo(X)) и медиана (Me(X)).

Определение. Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности φ(x), называется величина несобственного интеграла

∫ +∞

xφ(x)dx,

−∞

если он сходится.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины X называется величина несобственного интеграла

∫ +∞

(x − a)2φ(x)dx, a = M(X),

−∞

если он сходится.

Все свойства M(X), D(X), рассмотренные ранее для дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин, в частности:

D(X) = M(X2) − (M(X))2,

ãäå	+∞
	M(X) = ∫−∞	x2φ(x)dx.			√
Определение.			X
Аналогично определяется среднее квадратическое отклонение σ(x) =						D(x).
	Модой непрерывной случайной величины			называется ее наиболее

вероятное значение (для которого вероятность pi или плотность вероятности φ(x) достигает максимума).

Mo(X) = x0.

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимального значения ни в одной, а в нескольких точках, то такое распределение называется полимодальным.

(X)

X

0

X1

X3

Определение. Медианой Me(X) непрерывной случайной величины X называется такое ее значение, для которого

1

P (X < Me(X)) = P (x > Me(X)) = 2,

32

т.е. вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее медианы Me(X) или большее ее, одна и та же и равна 1/2.

Геометрически вертикальная прямая x = Me(X), проходящая через точку с абсциссой, равной Me(X), делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Очевидно, что в точке x = Me(X) функция распределения равна 1/2, т.е. F (Me(X)) = 1/2.

	(X)			(X)
			1
	P1=1/2	P2=1/2	0,5
		X		X
0	Me(X)		0	Me(X)

4.8. Некоторые законы распределения непрерывной случайной величины. Равномерный закон распределения.

Определение. Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности φ(x) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

	1		ïðè a ≤ x ≤ b,
φ(x) =
	b a
{	ïðè		x < a, x > b.
	0−

Кривая распределения φ(x) и график функции распределения F (x) случайной вели- чины X указаны на рисунке

	(X)			(X)
			1
1/(b-a)
		X			X
0	A	B	0	A	B

Теорема. Функция распределения случайной величины X, распределенной по равно-

мерному закону, есть					ïðè x ≤ a,
			−	0
					ïðè
F (x) =		x − a			ïðè a < x		≤	b,
	b			a
				1		x > b.

ее математическое ожидание M(X) = a +2 b,

а дисперсия

D(X) = (b − a)2 .

12

33

Показательный закон распределения.

Определение. Непрерывная случайная величина X имеет показательный закон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет вид:

φ(x) =

{ λe− x ïðè x ≥ 0,

0 ïðè x < 0.

Кривая распределения φ(x) и график функции распределения F (x) случайной вели- чины X приведены на рисунке.

(X)

1

(X)

X

X

0

0

Теорема. Функция распределения случайной величины X, распределенной по показа-

тельному закону, есть

F (x) = {

0 ïðè x < 0,

1 − e− x ïðè x ≥ 0,

ее математическое ожидание

1

M(X) =

,

λ

а дисперсия

1

D(X) =

.

λ2

4.9. Нормальный закон распределения.

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная

особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма

часто встречающихся типичных условиях.

Определение. Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами a и σ2, если ее плотность вероятности имеет

âèä:	1			(x a)2
			e−
φN (x) =	σ√				.	(3)
				2 2
		2π
Кривую нормального закона распределения называют						нормальной èëè гауссовой

кривой.

На рисунке приведена нормальная кривая φN (x) с параметрами a, σ2, ò.å. N(a; σ2) и график функции распределения случайной величины X, имеющей нормальный закон.

Заметим, что нормальная кривая симметрична относительна прямой x = a, имеет

1

максимум в точке x = a, равный √ , две точки перегиба x = a ± σ. Можно заметить,

σ 2π

что выражение плотности нормального закона параметры обозначаются буквами a è σ2, которыми обозначаются M(X) è D(X). Такое совпадение не случайно.

34

Y	Y
	1
	0,5
X	X
A- A A+	A

Теорема. Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по нормальному закону, равно параметру a этого закона, т.е.

M(X) = a,

а ее дисперсия параметру σ2, ò.å.

D(X) = σ2.

Выясним, как будет меняться нормальная кривая при изменении параметров a è σ2. Åñëè

σ = const, и меняется параметр a(a1 < a2 < a3), т.е. центр симметрии распределения, то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя формы

Y

		X
A1	A2	A3

Åñëè a = const и меняется параметр σ2, то меняется ордината максимума кривой

	1
fmax(a) =	σ√2π	. При увеличении σ ордината максимума кривой уменьшается, но так как

площадь под любой кривой распределения должна оставаться равной единице, то кривая становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении σ, напротив,

нормальная кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков. Таким образом, параметр a (он же математическое ожидание) характеризует положение, а параметр σ2

(он же дисперсия) форму нормальной кривой.

Y

X

A

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами a = 0, σ2 = 1,

ò.å. N(0; 1) называется стандартным èëè нормированным, а соответствующая нормальная кривая стандартной èëè нормированной.

35

Теорема. Функция распределения случайной величины X, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Φ(X) по формуле:

	N	2			2		(	σ	)
F		(x) =	1	+	1	Φ		x − a	.	(4)

Рассмотрим свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону. 1) Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному

закону, в интервал [x1; x2], равна

	P (x1 ≤ X ≤ x2) =				1	[Φ(t2) − Φ(t1)],				(5)
					2
	ãäå		x1 − a					x2 − a
	t1	=		,	t2		=			(6)
			σ					σ

Доказательство. Учитывая формулу (2) из параграфа Ÿ5 ( P (x1 ≤ X ≤ x2) = F (x2)− F (x1)), получим

1 ≤

≤

2

2

−

1

[2

2

( σ

)] −

[2

2

( σ

)]

P (x

X

x

) = F (x

)

F (x

) =

1

+

1

Φ

x2 − a

1

+

1

Φ

x1 − a

=

=

1

[Φ(t2) − Φ(t1)],

2

ãäå t1 è t2 определяются по формуле (6). Ч.т.д.

2) Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания a не превысит величину > 0 (ïî àá-

солютной величине), равна

P (	X		a		) = Φ(t), t =	.
|		−		| ≤		σ

Замечания.

1) åñëè = σ, òî

P (|X − a| ≤ σ) = Φ(1) = 0, 6827;

2)åñëè = 2σ, òî

P (|X − a| ≤ 2σ) = Φ(2) = 0, 9545;

3)åñëè = 3σ, òî

P (|X − a| ≤ 3σ) = Φ(3) = 0, 9973.

Отсюда вытекает "правило трех сигм":

Если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами a è σ2, ò.å. N(a; σ2), то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале

(a − 3σ, a + 3σ).

Нарушение "правила трех сигм"т.е. отклонение нормально распределенной случайной величины X больше, чем на 3σ (по абсолютной величине), является событием практически

невозможным, так как его вероятность весьма мала:

P (|X − a| > 3σ) = 1 − P (|X − a| ≤ 3σ) = 1 − 0, 9973 = 0, 0027.

Пример. Пусть масса пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами a = 375, σ = 25. Найти вероятность того, что масса одной пойманной рыбы составит:

1)от 300 до 425 г; 2) не более 450 г; 3) больше 300 г.

36

1) По формуле (5) при x1 = 300,

x2 = 425,

a = 375, σ = 25

получим

−

[ (

25

)

−

(

25

)]

−

P (300 < X < 425) = 0, 5 Φ

425 − 375

Φ

300

−

375

= 0, 5[Φ(2)

Φ(

3)] = 0, 9759.

2)По формуле (5), имеем

[ (

) −

(

)]

25

25

P (X < 450) = P (0 < X < 450) = 0, 5 Φ

450

−

375

Φ

0 − 375

= 0, 9986.

3)По формуле (5), имеем

∞

[ (∞

) −

(

)]

25

25

P (300 < X) = P (300 < X < +

) = 0, 5 Φ

−

375

Φ

300 − 375

= 0, 9986.

4.10. Распределение некоторых случайных величин, представляющих функции нормальных величин.

Рассмотрим несколько основных законов, составляющих необходимый аппарат для построения в дальнейшем статистических критериев и оценок, применяемых в математиче-

ской статистике.

1)χ2−распределение.

Определение. Распределением χ2 называется распределение суммы квадратов k

независимых случайных величин x1, x2, . . . , xk, каждая из которых имеет стандартный

нормальный закон распределения.

∑k

χ2 = x2i

i=1

Величина χ2 для различных значений k затабулирована.

2)Распределение Стьюдента.

Определение. Распределением Стьюдента (или t распределением) называется рас-

пределение случайной величины

t = √Z ,

k1 χ2

ãäå Z−случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону, т.е.

N(0; 1).

Ïðè k → ∞ t распределение приближается к нормальному. Практически уже при k > 30 можно считать t распределение приближенно нормальным.

3)Распределение Фишера Снедекора.

Определение. Распределением Фишера Снедекора (или F распределением) называется распределение случайной величины

1 χ2(k1)

F = k11 χ2(k2),

k2

ãäå χ2(k1) è χ2(k2)− случайные величины, имеющие χ2−распределение соответственно ñ k1 è k2 степенями свободы.

Ïðè k1 è k2 → ∞ F распределение приближается к нормальному закону.

37

Контрольные вопросы.

1)Определение случайной величины, виды случайных величин.

2)Закон распределения дискретной случайной величины.

3)Математические операции над случайными величинами.

4)Математическое ожидание и его свойства.

5)Дисперсия и ее свойства.

6)Функция распределения и ее свойства.

7)Плотность вероятности и ее свойства.

8)Характеристики непрерывных случайных величин.

9)Равномерный и показательный законы распределения.

10)Нормальный закон распределения. Теорема.

11)Правило "трех сигм".

38

Тема 5. Закон больших чисел.

Ïîä законом больших чисел понимается совокупность предложений, в которых утверждается, что с вероятностью, как угодно близкой к единице, отклонение средней арифмитической достаточно большого числа случайных величин от постоянной величинысредней арифмитической их математических ожиданий не превзойдет заданного как угодно малого числа ε > 0.

5.1. Неравенство Маркова (Лемма Чебышева).

Лемма Чебышева. Если среди значений случайной величины X нет отрицательных, то вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, превосходящеее положительное число A, не больше дроби, числитель которой математическое ожидание случайной величины, а ее знаменатель число A.

P (X > A) ≤	M(X)
	A .	(1)

Доказательство. Пусть известен закон распределения случайной величины X

X	x1	. . .	xn
P	p1	. . .	pn

по отношению к числу A все значения xi разбиваются на две группы:

1)xi < A, 1 ≤ i ≤ k,

2)xi > A, k + 1 ≤ i ≤ n.

Запишем чему равно математическое ожидание данной случайной величины

x1p1 + x2p2 + . . . + xkpk + xk+1pk+1 + . . . + xnpn = M(X).

Òàê êàê âñå pi > 0, а по условию леммы все xi ≥ 0, то члены этой суммы неотрицательны. Поэтому отбрасывая первые k слагаемых в выражении M(X), получим неравенство

xk+1pk+1 + . . . + xnpn ≤ M(X).

Заменив в нем оставшиеся значения случайной величины меньшей величиной A, можно лишь усилить неравенство, т.е.

A(pk+1 + . . . + pn) ≤ M(X),

pk+1 + . . . + pn ≤	M(X)
		.
	A

Òàê êàê xk+1, . . . , xn представляют все значения случайной величины, которые больше

A, то в соответствии с теоремой сложения вероятностей сумма в левой части последнего неравенства дает вероятность того, что случайная величины X примет какое нибудь значение, большее A. Следовательно,

P (X > A) ≤ M(X).

A

×.ò.ä.

Замечание. Так как события X > A è X ≤ A являются противоположными событиями, то лемма Чебышева может быть записана в следующим эквивалентным неравенством

P (X ≤ A) > 1 −	M(X)
	A .	(2)

39

Пример. С среднем количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в те- чении часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор: a) превысит 400; б) бедет не более 500.

а) По условию M(X) = 300. По формуле (1)

P (X > 400) ≤ 300400,

т.е. вероятность того, что число вызовов превысит 400, будет не более 0,75.

б) По формуле (2)

P (X ≤ 500) ≥ 1 − 300500 = 0, 4,

т.е. вероятность того, что число вызовов не более 500, будет не менее 0,4.

Отметим, что с помощью леммы Чебышева (и других теорем закона больших чисел)

не находится точное или прибдиженное значение вероятности, а производится лишь ее

ОЦЕНКА.

5.2. Неравенство Чебышева.

Лемма Чебышева имеет следующие недостатки:

а) она не применима, если среди значений случайной величины есть отрицательные значения;

б) разные законы распределения случайных величин могут иметь одинаковые математические ожидания и тогда лемма Чебышева дает для них одинаковую оценку;

Эти недостатки устраняет следующая теорема

Теорема (Неравенство Чебышева). Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания M(X) = a превзойдет по абсолютной

величине положительное число ε, не больше дроби, числитель которой дисперсия случайной величины, а ее знаменатель квадрат ε.

P (|X − a| > ε) ≤	D(X)	(3)
	ε2

Доказательство. Пусть X cлучайная величина, M(X) = a−ее математическое ожидание. Рассмотрим новую случайную величину (Xa)2, причем среди ее значений нет отрицательных, и, следовательно, для нее применима лемма Чебышева.

P ((X − a)2 > ε2) ≤ M(X − a)2 . ε2

Так как неравенства (X − a)2 > ε2 è |X − a| > ε эквивалентны, а M(X − a)2 = M(X − M(X))2 = D(X), то из предыдущего неравенства получим

P (|X − a| > ε) ≤	D(X)
		.
	ε2

×.ò.ä.

Замечания.

1) Т.к. события |X −a| > ε è |X −a| ≤ ε являются противоположными, то неравенство Чебышева имеет эквивалентную форму

P (|X − a| ≤ ε) ≥ 1 −	D(X)
	ε2 .	(4)

40