Розділ 2 границя функції. Похідна

§1. Границя функції

Число А називається границею функції прих, що прямує до а (х а), якщо для будь-якого як завгодно малого числа знайдеться таке мале число, що для всіхх, які задовольняють умову , виконується нерівність .

Границю функції записують у вигляді:

. (1)

Іншими словами, коли значення аргументу прямує до числа а, то значення функції прямує до значення А. Значення функції в точці а може бути рівним значенню границі функції в точці а, але може і не дорівнювати (дивись рис.12).

Функція називається нескінченно великою при х що прямує до а, якщо її границя рівна нескінченості (). Або, якщо значення функції більше довільного додатного числаМ: ().

Функція (х) називається нескінченно малою при х а якщо її границя рівна нулю().

Практичне обчислення границь базується на теоремах про границі.

Якщо існують татоді:

1) ;

2) ;

3) , при.

Використовуються також наступні границі:

(перша чудова границя); (2)

(друга чудова границя). (3)

Приклади.

№1.

Знайти границю функції: .

Розв’язання. Якщо замість змінної х підставити у вираз значення 6: ,то одержимо невизначеність типу . Розкриємо її. Для цього представимо чисельник і знаменник дробу у вигляді добутків: .

№2.

Знайти границю функції: .

Розв’язання. Якщо замість змінної х підставити у вираз значення нескінченності : ,то одержимо невизначеність типу . Розкриємо її. Для цього винесемо за дужки:

.

Якщо тепер замість змінної х підставити у вираз значення , то вираз, вигляду прямує до нуля. В результаті:

.

№3.

Знайти границю функції .

Розв’язання. Помножимо чисельник і знаменник дробу на .

§2. Похідна функції

Нехай маємо функцію . Дамо аргументу х приріст х. Одержимо нове значення аргументу х+х. Відповідні цим значенням аргументу значення функції можна записати у вигляді: і .

Різниця значень функції (або ) називаєтьсяприростом функції на відрізку  х; х+х (дивись рис. 13).

Похідною від функції по аргументу х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля:

або . (4)

Похідна позначається також .

Геометрична інтерпретація похідної функції в точці.

Зобразимо графік довільної функції (дивись рис. 14). На осі Ox візьмемо точку х₀. Знайдемо значення функції в цій точці: .Дамо аргументу приріст х і одержимо точку х₀+х. Відповідно, функція прийме значення: .Позначимо точки і.

Проведемо через ці точки січну пряму . Вона нахилена до додатного напрямку осіОх під кутом . Через точкуМ проведемо пряму, паралельну осі Ох. Позначимо точку перетину цієї прямої з перпендикуляром із точки як точкуN. Зі співвідношення в прямокутному трикутнику маємо:. КолиточкаМ’ переміщається уздовж кривої, наближаючись до точки М. Січна повертається навколо точки М і в граничному положенні січна збіжиться з дотичною.

Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює . Таким чином, прикутнаближається до кутаі

(5)

Геометрична інтерпретація полягає в тому, що похідна функції в точці х₀ являє собою кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у=f(х) у точці х₀, тобто (дивись рис. 15).

Фізична інтерпретація похідної.

Нехай тіло рухається прямолінійно за відомим законом . Середня швидкість за часвизначається за формулою:

. (6)

Миттєва швидкість прямолінійного руху дорівнює границі цього співвідношення, тобто похідній шляху за часом руху.

. (7)

Знаходження похідної називається диференціюванням.

Правила диференціювання.

Якщо ,- функції, залежні від, і можуть бути диференційовані, тоді:

1. ; (8)

2. ; (9)

3. . (10)

4. Таблиця знаходження похідних елементарних функцій.

1. , де С – стала величина;	10. ;
2. ;	11. ;
3. ;	12. ;
4. ;	13. ;
5. ;	14. ;
6. ;	15. ;
7. ;	16. ;
8. ;	17. ;
9. ;	18. .

Приклади.

№1.

Знайти приріст функції, при.

Розв’язання. .

Відкриємо дужки і приведемо подібні доданки:

Якщо підставити значення тав останній вираз, то отримаємо:

.

№2.

Знайти похідну функції .

Розв’язання. .

№3.

Знайти похідну функції .

Розв’язання. =

.