5.3. Показатели формы распределения

На практике приходится встречаться с самыми различными распределениями. Однородные совокупности характеризуются, как правило, одновершинным распределением. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. При изучении распределений, отличных от нормального, возникнет необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят такие характеристики, как асимметрия и коэффициент эксцесса. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому, если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному.

1) Коэффициент асимметрии определяется по формуле:

.

Если =0, то ряд симметричен относительно моды.

При >0 скошенность вправо, средняя арифметическая правее моды, «длинная часть» кривой распределения расположена справа от моды. При правосторонней асимметрии.

При <0 скошенность влево, средняя арифметическая левее моды, «длинная часть» кривой распределения расположена слева от моды. При левосторонней асимметрии.

Напомним, что мода – точка максимума дифференциальной функции распределения.

В нашем случае:

=–0,3.

Коэффициент асимметрии отрицательный, следовательно “длинная часть” кривой, полученной на основании опытных данных, расположена слева от моды и средняя арифметическая левее моды (рисунок 3). Заметим, что в нашем случае коэффициент асимметрии близок к нулю.

Рисунок 3. – Левосторонняя асимметрия.

2) Коэффициент эксцесса определяется по формуле:

.

Если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и острую вершину, чем нормальная кривая (островершинное распределение); если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и "плоскую" вершину, чем нормальная кривая (плосковершинное распределение).

Замечание: . Еслиблизок к –2, то кривая двухвершинная. Прикривая распадается на две островершинные кривые, что говорит о неоднородности статистического материала.

В нашем случае:

.

Коэффициент эксцесса отрицательный, следовательно, вершина кривой ряда распределения ниже, чем у кривой нормального распределения.

Рисунок 4. – Плосковершинное распределение.

6. Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности

Задачи математической статистики практически сводятся к оценке свойств генеральной совокупности по результатам случайной выборки.

Любую функцию от результатов выборочных наблюдений принято, называть статистикой (выборочной характеристикой). Статистики обычно и используются для построения статистических оценок параметров генеральной совокупности, когда точные значения этих параметров нам неизвестны. Статистикуиспользуемую как оценку параметра, называют точечной оценкой. Из точечных оценок в приложениях математической статистики наиболее часто используют среднюю арифметическуюкак оценку математического ожидания, выборочную дисперсиюи среднее квадратическое отклонение, как оценки генеральной дисперсиии среднего квадратического отклонения.

В математической статистике в зависимости от задачи статистику рассматривают либо как случайную величину, либо как число (конкретную реализацию случайной величины). Возникает вопрос, каким требованиям должны отвечать точечные оценки, чтобы их можно было считать в каком-то определенном смысле "хорошими". Эти требования характеризуют понятиями несмещенности, состоятельности и эффективности.

Оценку называютнесмещенной, если при любом объеме выборки n ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру , то есть=.

В случае большой выборки оценкапараметраназываетсясостоятельной, если по мере роста числа наблюдений n (то есть в случае конечной генеральной совокупности объемомN или при в случае бесконечной генеральной совокупности) она стремится к оцениваемому параметру.

Несмещенная оценка параметраназываетсяэффективной, если среди прочих несмещенных оценок того же параметра она обладает наименьшей дисперсией.

Точечные оценки параметров генеральной совокупности в нашем примере: