- •Цифровые фильтры
- •14.1. Понятие о цифровой обработке сигналов. Области применения цифровых фильтров
- •14.2. Линейная модель цифрового фильтра. Нерекурсивные и рекурсивные фильтры
- •14.3. Операторные характеристики и канонические схемы цифровых фильтров
- •14.4. Приемы построения цифровых фильтров по заданным характеристикам
- •14.5. Точность цифровых фильтров. Источники погрешностей в цифровых фильтрах и их оценка
14.3. Операторные характеристики и канонические схемы цифровых фильтров
В главе J при рассмотрении способов представления сигналов и характеристик цепей было показано, что в дискретном случае преобразованию Лапласа, переводящему функции времени х (t) в X (p), соответствует z-преобразование, переводящее x(kT) в Х(z), где z = epT. Физически оператору z-1=e-pTсоответствует задержка сигнала на время Т .
Применим z-преобразование к разностному уравнению (14.7):
Соответствующая выражению (14.14) схема приведена на рис. 14.5. Применяя к этой схеме правило определения передаточной функции цепи с обратной связью, найдем:
Функция (14.9) и схема, приведенная на рис. 14.5, представляют собой фильтр первого порядка. Функция F(z) является рациональной дробью относительно ги называется системнойилипередаточнойфункцией фильтра. Более сложные фильтры имеют и более сложные характеристики.
В общем по аналогии с F (р) функцию F (z) можно представить в виде
По аналогии с каноническими схемами передающих цепей, рассмотренными в § 2.24, составим каноническую схему цифрового (дискретного) фильтра третьего порядка (рис. 14.6) с характеристикой
Для пояснения ее действия введем промежуточную переменную U. Из условия равновесия для левого сумматора найдем:
Выход Y (z) в свою очередь равен U(). Отсюда F(z)=Y (z)/X (z) дает выражение (14.11).
Очевидно, что для построения цифровых фильтров могут быть использованы и другие канонические схемы, и, в частности, схемы каскадного и параллельного соединений нескольких фильтров первого или второго порядка.
14.4. Приемы построения цифровых фильтров по заданным характеристикам
Как отмечалось, задача построения нерекурсивного фильтра по заданной импульсной характеристике решается просто. Однако чаще бывает задана его частотная (или операторная) характеристика. Поскольку методы аппроксимации желательных характеристик частотных фильтров рациональными функциями передачи F (р) с максимально плоскими и равноволновыми характеристиками хорошо разработаны (см. § 6.14), то будем считать, что требуемая характеристика задана функцией F (р) вида
Она является характеристикой аналогового фильтра-прототипа. Задача заключается в переходе от функции F (р) к функции F (z). По F(z), как было показано, строится одна из канонических схем, чем и определяется алгоритм работы цифрового фильтра.
Сложность перехода от F (р) к F(z), несмотря на сходство формул (14.10) и (14.12), заключается в однозначном соответствии функции F (р) дифференциальному уравнению, а функции F (z) разностному уравнению. При переходе от дифференциального уравнения к разностному меняются значения коэффициентов, как это было видно из рассмотренного в § 2.14 простого примера.
Коэффициент а в дифференциальном уравнении преобразовался в-вВ ряде простых случаеможно пользоваться таблицей соответствий между L-и z-преобразованиями (см. табл. 1.2).
Иногда функцию F (р) можно разложить на простые дроби вида а/(р + а) и воспользоваться известными соответствиями, но в большинстве практически важных случаев приходится искать другие приемы преобразования F (р) в F(г).
На практике применяют так называемое билинейное z-преобразование, при котором используют подстановку
Это преобразование было найдено формально математически при поисках способа преобразования комплексной плоскости рв плоскость z. Пояснить его можно так. Заметим, что частотные характеристики дискретных фильтров, как и спектры дискретных сигналов, периодичны. Проиллюстрируем это на примере простого нерекурсивного фильтра (рис. 14.7, а). Для него
Имея в виду, что и , получим:
Выражение (14.14) содержит два слагаемых: вектор направленныйвдоль вещественной оси, и вращающийся вектор .Модуль функции F() будет периодически изменяться от до(рис 14.7,б).
Таким образом, задачу перехода от функции F (р) к функции F (г) можно сформулировать как задачу перехода от непериодической частотной характеристики к периодической. Характеристика должна повторяться далеко вне рабочего диапазона частот, ^то легко достигается выбором периода дискретизации соответственно малым (см. рис. 14.7, б). И поскольку повторение характеристики происходит вне рабочего диапазона, как она повторяется—безразлично.
Равенству (14.15) соответствует соотношение
и, следовательно,
Из рис. 14.8 видно, что вблизи сох происходит расхождение между x и tgx. Его можно уменьшить введением преобразования масштаба частот:
где — частота среза аналогового фильтра-прототипа;
— частота цифрового фильтра, на которой характеристики фильтров должны совпадать.
Как видно, при tgx = х выражение (14.17) дает = . В соответствии с выражением (14.17) следует пересчитывать частоты среза и частоты, на которых должно гарантироваться определенное ослабление. С учетом сказанного, а также, имея в виду, что F (г) должны быть представлены в виде функции от, дробно-рациональное преобразование (14.15) для ФНЧ имеет вид:
где— интервал дискретизации.
Подставляя числовые данные, получим . Аналогично частоте цифрового фильтрасоответствует частота фильтра-прототипа:
Таким образом, фильтр-прототип должен иметь затухание 3 дБ на частоте = затухание не менее 20 дБ на частоте
Определим теперь частотную характеристику фильтра-прототипа. Вспомним, что максимально плоскую характеристику имеют фильтры Баттерворта, описываемые выражением
Найдем порядок фильтра-прототипа, удовлетворяющего указанным требованиям. Отношение частот c/= 2,236. Задаваясь на частоте ослаблением не менее 20 дБ (т. е. в 10 раз), из выражения (14.19) определим порядок фильтра: (1 + 2,236n) 100, откуда n2,85. Принимаем n= 3. Фильтр Баттерворта третьего порядка на частоте обеспечивает ослабление сигнала, равное 10 lg [1 ++ (2,236)6] ≈21 дБ, что превышает заданные требования к фильтру. Найдем теперь передаточную функцию фильтра-прототипа — фильтра Баттерворта третьего порядка. Согласно табл. 6.3 можно написать:
Откуда
Системная функция (14.21) может быть реализована в виде цепочечного соединения двух фильтров первого и второго порядка, для чего эту функцию представим в виде произведения двух системных функций:
Схема цифрового фильтра, соответствующая системной функции (14.22), приведена на рис. 14.9.