Бесконечность и парадоксы
Насколько произвольна и неоднозначна оценка вероятности «геометрическим способом»? В рассмотренных выше примерах, вероятность попадания брошенной точки в определенное место круга, найденная «геометрически», кажется вполне разумной и здравому смыслу не противоречит. Это совсем очевидно в первом случае для вероятности 1/4, когда мишенью является большой и малый круг. Также кажется очевидной и оценка вероятности в третьем случае для вероятности 1/3, хотя здесь выбор мишени в виде трех сегментов кажется несколько произвольным. Впрочем, этот же результат получится, если вместо сегментов бросать точки в окружность. Хотя попасть в бесконечно-тонкую линию, строго говоря, невозможно, можно заменить окружность кольцом малой конечной толщины. Мишени-сегменты при этом заменяются тремя участками этого кольца. Точно также следует поступить и во втором случае, ибо и в радиус попасть невозможно. Однако, утолщая радиус, нужно помнить, что для получения вероятности 1/2, утолщение должно быть одинаковым по всей его длине. Если же превратить радиус в малый сектор, то получится вероятность 1/4, так как сектор будет сужаться к центру круга. Таким образом, здесь при утолщении линии вместо радиуса следует взять полоску, а не сектор. Это некоторым образом противоречит симметрии задачи. Заметим, что утолщение линий требуется из физических соображений и для математических рассуждений не обязательно.
Равномерное распределение точек по площади круга, по его радиусу и по его окружности, и их выбор с помощью случайного бросания точек на эти фигуры, действительно, разные задачи и разные эксперименты. Поскольку считается, что каждая точка, выбранная этими способами, соответствует хорде, то и выбор хорд получается разным.
Итак, в согласии с общепринятым мнением, можно сказать, что парадокса нет, поскольку в трех примерах Бертрана речь идет о трех разных способах выбора множества хорд круга, после чего хорды этого выбранного множества сравниваются по длине с эталоном – стороной вписанного в круг треугольника. После сравнения исходное множество хорд разбивается на два подмножества – длинных и коротких хорд. По «числу» хорд в этих двух подмножествах и оценивается вероятность хорде, взятой из первоначально выбранного множества, быть длинной или короткой. Из найденных нами вероятностей следует, что число коротких хорд в первом случае в три раза больше числа длинных, в третьем случае только в два раза больше, а во втором случае эти числа равны, что как раз соответствует конгруэнтности Пуанкаре.
Разбиение выбранного множества на два подмножества в каждом из трех случаев кажется вполне однозначным. Логично предположить, что различие в результатах связано с первоначальным выбором исходного множества хорд, а не с его последующим разбиением на два подмножества.
Теперь предположим, что существует одно и только одно полное множество всех хорд круга. Это множество, очевидно, можно однозначно разбить на два подмножества длинных и коротких хорд. Если это так, то остается заключить, что в рассматриваемых трех способах выбора хорд уже на первом шаге в исходных множествах, возможен либо недоучет, либо переучет тех или иных хорд.
Это важное обстоятельство оказывается совершенно незамеченным ввиду бесконечного числа учитываемых объектов. Для того чтобы понять, как возникает подобного рода казус, рассмотрим простой пример. Число квадратов целых чисел, как известно, равно числу самих чисел, поскольку для каждого целого n перемножением на себя находится соответствующий квадрат как m=n*n.
Это математически строгое утверждение, казалось бы, явно противоречит здравому смыслу, поскольку не все целые числа n – квадраты m целых чисел и, таким образом, огромное множество чисел при сравнении остаются неучтенными.
Парадокс объясняется весьма просто – чтобы поддержать равновесие между числами n и их квадратами m – малой частью тех же чисел n, мы все время «заимствуем из бесконечности» новые числа. Для применимости этой процедуры рассматриваемое множество должно быть бесконечным. Для конечного множества она невозможна и никаких парадоксов не возникает.
Множество целых чисел – простейшее множество, допускающее алгоритм «заимствования из бесконечности». Алгоритм можно применять и в других похожих случаях. С его помощью можно доказать, например, равенство «чисел» точек внутри квадрата и точек на его стороне. (На научном языке это называется равенство мощностей этих множеств). Игра здесь идет на бесконечной делимости числового интервала, иначе говоря, на плотности множества точек на нем.
Хотя множество точек на прямой и множество точек на плоскости имеют одинаковую мощность (т.н. мощность континуума), из этого вовсе не следует, что, нарисовав квадрат и бросив в него наугад точку, мы с равной вероятностью попадем и внутрь квадрата и в его сторону.
При сравнении одинаковых объектов, например, площадей или длин линий, таких явных несуразностей не возникает, однако, в более сложной ситуации при пересчете одних вероятностей в другие, как это имеет место в примерах Бертрана, возможна потеря части объектов и появление неоднозначности.
Мы видим, что с бесконечностью дело иметь опасно, тут в любой момент может возникнуть ошибка при оценке вероятности из, казалось бы, безупречного с математической точки зрения рассуждения. Итак, приведенные выше оценки вероятности по Бертрану правильны, но они не относятся непосредственно к выбору хорд круга. Они относятся только к выбору точек площади, радиуса и окружности.
Как же, все-таки, выйти из затруднения и найти «правильное» отношение «чисел» хорд круга и разрешить парадокс Бертрана?
Только один способ представляется мне безупречным и свободным от всех возражений, а именно, прямо пересчитать все хорды, отобрать из них длинные и их число поделить на полное число хорд. Но в круге бесконечно много хорд – целый континуум! А даже все целые числа перебрать просто так невозможно! Итак, задача о числе длинных и коротких хорд круга – выглядит принципиально неразрешимой простым и однозначным методом.