Электронные пучки

				Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
	r	k		(27.18)
	P =		W
		ω

между вектором плотности импульса и плотностью энергии волны любой природы, k - волновой вектор.

§ 28. Волны плотности заряда электронного пучка в волноводе

Перейдем к рассмотрению волн плотности заряда в поперечно ограниченном электронном пучке, распространяющемся в волноводе с произвольным поперечным сечением. Пучок считаем релятивистским, полностью замагниченным и нейтрализованным фоном бесконечно тяжелых ионов. Представим гидродинамические скорость и плотность электронов в следующем виде, учитывающем поперечную ограниченность пучка (сравни с (27.1)):

r r	~	r	, z,t)},
Vb (r	, z,t) = {0,0,u +Vbz (r			(28.1)
r	r	~	r
Nb (r , z,t) = n0b Pb (r )		+ Nb (r , z,t).

где n0b и u − константы, определяющие невозмущенные плотность и скорость электронов пучка, rr - координата в поперечном сечении волновода, а функция Pb (rr ) задает профиль поперечного распределения электронов пучка в волноводе. Что касается электромагнитного поля, то его структура подробно обсуждается позже. Линеаризуя уравнения гидродинамики (18.7), (18.8) по малым возмущениям равновесного состояния пучка, получим следующее:

∂Nb

+ u

∂Nb

= −n P

(rr )∂Vbz ,

~

~

~

∂t

∂z

0b

b

∂z

(28.2)

~

~

∂Vbz

∂Vbz

e

−3

~

+ u

=

γ

Ez .

∂t

∂z

m

где γ = (1 − u2

c2 )−1 2 -

невозмущенный релятивистский фактор электронов. Возмущение же

плотности тока пучка вычисляется по формуле

~

~

r

~

(28.3)

jb = en0bVbz Pb (r )+ euNb .

Из первого уравнения (28.2) видно, что целесообразна замена

~

r ~

,

~

−неко-

Nb = n0b Pb (r )N

где N

торая функция. После данной замены (28.2) и (28.3) запишутся в виде

~

~

~

∂N + u

∂N = − ∂Vbz

,

∂t

∂z

∂z

~

~

e

~

∂Vbz

∂Vbz

−3

+ u

=

γ

Ez ,

,

(28.4)

∂t

∂z

m

~

~

~

r

r

jb = en0b (Vbz

+ uN )Pb (r ) ≡

jb Pb (r ).

Здесь jb - новая функция, для которой, как это следует из первых двух уравнений (28.4), лег-

ко получается одно уравнение:

121

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

∂

∂

2

ω

2

γ

−3

~

+ u

j =

Lb

∂E

z .

(28.5)

∂t

∂z

b

4π ∂t

Перейдем теперь к уравнениям электромагнитного поля. Из курсов электродинамики известно, что в вакуумном цилиндрическом волноводе (образующие цилиндра параллельны оси OZ) существуют независимые волны Е-типа и волны В-типа. В волнах Е-типа продольная составляющая магнитного поля равна нулю, а продольная составляющая электрического поля отлична от нуля, т.е. Bz = 0, Ez ≠ 0 . В волнах В-типа ситуация противоположная:

Ez = 0, Bz ≠ 0 . В рассматриваемом нами случае волновод не вакуумный, а содержит элек-

тронный пучок. Тем не менее, разделение полей на волны указанных выше двух типов сохраняется. Электроны полностью замагниченного пучка смещаются только вдоль оси OZ, что видно из (28.5), в которое входит только продольная составляющая электрического поля

Ez = E~z . Следовательно, волны В-типа с полностью замагниченным пучком не взаимодейст-

вуют – они такие же, как в вакуумном волноводе, а поэтому интереса для нас не представляют.

Для описания волн Е-типа удобно ввести поляризационный потенциал ψ , выразив через него все отличные от нуля компоненты электромагнитного поля по формулам:

E

x

=

∂2ψ

,

B

x

=

1 ∂2ψ

,

E

y

=

∂2ψ

,

c ∂y∂t

∂y∂z

∂x∂z

(28.6)

2

∂

2

1 ∂

2

B

y

=

1

∂ ψ

,

E

z

=

−

ψ.

2

2

2

c ∂x∂t

∂z

c

∂t

Введенный в (28.6) потенциал ψ является z − составляющей часто используемого в электро-

динамике электрического вектора Герца. Сам потенциал ψ , как это следует из уравнений Максвелла, удовлетворяет следующему волновому уравнению:

∂

∂

2

1

∂

2

r

∆ +

(28.7)

2 −

2

2

∂z

c

∂t

ψ = −4πPb (r ) jb .

∂t

Волновое уравнение (28.7) дополняется условием

Ez = 0 на боковой металлической стенке

волновода, что, как

видно из последнего соотношения (28.6), сводится к следующему:

ψ

Σ=0 = 0 , где Σ = 0 -

уравнение металлической боковой поверхности волновода. Уравнения

(28.5) и (28.7) являются основой для исследования свойств волн пучка в волноводе с произ-

вольной формой поперечного сечения.
Положим
r	=	~ r	)exp(−iωt + ik		z),
j (r , z,t)		j (r				(28.8)
b r		~ r		z
ψ (r , z,t) =ψ (r )exp(−iωt + ikz z),

122

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

где ~j (rr ), ψ~(rr ) - функции только от поперечной координаты rr . Разложим ψ~(rr ) в ряд по собственным функциям ϕn (rr ) задачи (26.8), выразим коэффициенты разложения из уравне-

ния (28.7) и подставим их в (28.5). В результате получим следующее однородное интеграль-

~

r

ное уравнение Фредгольма 2-го рода для функции j (r ) :

2

~

r

2

−3

r r ~ r

r

,

(ω − kzu)

j (r )=

ωLbγ

∫∫Kb (r , r )j (r )dr

Sw

v r

∞

χ2

Pb (rr )ϕn (rr )ϕn (rr )

(28.9)

Kb (r , r )= ∑

.

2

χ

2

ϕn

2

n=1 k n +

Здесь χ 2 = kz2 −ω2

c2 ,

Sw − площадь поперечного сечения волновода, а

ϕn

−норма собст-

венной функции. Условие разрешимости уравнения (28.9) и есть искомое дисперсионное уравнение для спектров волн в волноводе с электронным пучком в бесконечно сильном продольном внешнем магнитном поле.

В качестве примера анализа уравнения (28.9) рассмотрим два крайних случая – волновод с однородным в поперечном сечении электронным пучком, и волновод, в котором распространяется бесконечно тонкий (игольчатый) электронный пучок. Если пучок однороден в

поперечном сечении волновода,				то		r	~	r	r
						Pb (r ) ≡ 1 . Полагая при этом	j	(r ) = const ϕn (r ) , полу-
чим из (28.9) бесконечное множество алгебраических уравнений
(ω − k		u)2 = ω2 γ −3	χ2		,	n =1,2,K,			(28.10)
			k 2n + χ2
	z	Lb

Уравнение (28.10) определяет для каждого n три ветви колебаний: электромагнитную волну; быструю пучковую волну; медленную пучковую волну. У электромагнитной волны

ω2 > kz2c2 , т.е. фазовая скорость больше скорости света. Это – обычная волноводная элек-

тромагнитная волна, но определенным образом возмущенная пучком. У быстрой волны kz2c2 > ω2 > kz2u2 , т.е. фазовая скорость меньше скорости света, но больше невозмущенной скорости пучка u . У медленной волны фазовая скорость меньше скорости пучка u , посколь-

ку для нее kz2u2 > ω2 . В случае однородного в поперечном сечении волновода пучка быстрая и медленная волны являются объемными. Быструю и медленную пучковые волны называют еще волнами пространственного заряда электронного пучка.

Для бесконечно тонкого (игольчатого) пучка поперечный профиль плотности имеет вид Pb (rr ) = Sbδ (rr − rrb ) , где Sb − площадь поперечного сечения пучка, а rrb − определяет его положение в поперечном сечении волновода (см. первое уравнение в (26.6)). В этом случае (28.9) сводится к виду:

123

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

(ω − kzu)2	= ωLb2 γ −3	χ2	,
		k 2b

∞

S

b

ϕ2

(rr ) −1

где k 2b = ∑

n

b2

.

(28.11)

2

χ

2

n=1

k n +

ϕ

n

Уравнение (28.11) определяет спектры бесконечного множества объемных электромагнит-

ных волн. Это – обычные волноводные моды с ω2 > kz2c2 , но несколько возмущенные присутствием электронного пучка. Кроме того, уравнение (28.11) определяет спектры еще двух ветвей поверхностных волн пространственного заряда пучка: быстрой поверхностной пучковой волны и медленной поверхностной пучковой волны.

Рассмотрим спектры пучковых волн подробнее. Начнем со случая однородного в поперечном сечении волновода пучка. В потенциальном приближении уравнение (28.10) оказывается уже разрешенным относительно частоты ω :

ω = k	u ±ω		γ	−	3 2	k 2	.	(28.12)
						z
z		Lb				k 2n + kz2

Здесь верхний знак относится к быстрой волне, а нижний – к медленной. При kz → ∞ (т.е. в

одномерном случае) выражение (28.12) переходит в простейший спектр (27.7) (только с учетом релятивизма пучка).

Так как собственные значения k n возрастают с ростом номера n , то основная мода волн (28.12) с n = 1 имеет минимальную фазовую скорость медленной пучковой волны и максимальную фазовую скорость быстрой пучковой волны. Более того, фазовая скорость медленной волны может быть равной нулю и даже противоположной невозмущенной скорости пучка u . Из (28.12) видно, что это имеет место на низких частотах при выполнении неравенства

α		≡	ω2	γ −3	≥1	,	(28.13)
	Пирса		Lb	u2
			k 2
			1

что возможно только при высокой плотности электронов в пучке. Ток пучка, при котором начинает выполняться неравенство (28.13) называют пирсовским током, а параметр αПирса -

параметром Пирса. На Рис. 28.1 представлены дисперсионные кривые быстрых и медленных пучковых волн при малых (αПирса <1) и больших (αПирса >1) плотностях пучка, однородно заполняющего волновод.

Заметим, что потенциальное приближение, использованное при получении (28.12),

применимо, как это следует из (19.17), при выполнении неравенства ω kz c <<1 ( L ~ | kz |−1 ,

T ~ | ω |−1 ). Для быстрой волны, у которой ω kz > u , формула потенциального приближения

(28.12) справедлива только в случае нерелятивистского пучка. Что касается медленной вол-

124

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
30
	ω
25
20
15
10
5
0									k z
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
-5
				а
30
	ω
25
20
15
10
5
0									k z
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
-5
				б
				Рис. 28.1
Качественный вид дисперсионных кривых пучковых волн
		а - αПирса <1;			б - αПирса >1
				125

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

ны, то в области низких частот при увеличении параметра Пирса она становится все более потенциальной (см. Рис. 28.1).

Перейдем теперь к рассмотрению спектров волн бесконечно тонкого электронного пучка. Из уравнения (28.11) в том же потенциальном приближении, имеем

∞

2

Sb

2 ϕn2 (rrb ),

ω = kzu ±ωLbγ −3 2

∑

2

kz

2

(28.14)

n=1

k n + kz

ϕn

что аналогично (28.12). Параметр Пирса в случае тонкого пучка определяется формулой

2

−3

∞

2

Sb

αПирса ≡ ωLb2 γ

2

∑

k 1

ϕn2 (rrb ).

(28.15)

2

2

ϕn

k 1u

n=1

k n

На Рис. 28.2 – 28.4 представлены дисперсионные кривые волн бесконечно тонкого пучка. Они получены путем численного решения точного уравнения (28.11) (т.е. учитывают и непо-

тенциальные эффекты)	для цилиндрической геометрии при R =1,8см, rb = 0,65см,
γ = 2 (u = 2,6 1010 см/ с)	и различных токах электронного пучка. Кривые 1 и 2 изображают

медленную и быструю волны соответственно при токе в 2kA – Рис. 28.2, при токе 10kA – Рис. 28.3, при токе 40kA – Рис. 28.4. В последнем случае параметр Пирса (28.15) примерно равен единице. Для наглядности на Рис. 28.2 – 28.4 пунктиром проведена прямая ω = kzu .

Одним из следствий непотенциальности, хорошо видным на рисунках, является отсутствие симметрии быстрой и медленной волн относительно линии ω = kzu . Быстрая волна при больших токах ускорена почти до скорости света и сильнее ускорена быть не может. Для замедления же медленной волны преград нет, и ее скорость тем меньше, чем больше ток пучка.

Относительно дисперсионных уравнений (28.10) и (28.11) заметим еще, что они легко разрешаются относительно частоты в высокочастотной области при ω2 ≈ kz2u2 >> ωLb2 γ −3 , для чего в указанных уравнениях следует сделать очевидную замену: χ2 → kz2γ −2 .

Все, что говорилось об энергии медленной и быстрой пучковых волн в § 27 полностью справедливо и для случая поперечно ограниченного пучка электронов в волноводе. Усложняется только формула (27.13) для выражения энергии волны через амплитуду продольной составляющей электрического поля. Мы на этом вопросе здесь останавливаться не будем. Для нас важен сам факт существования в пучке волны, энергия которой отрицательна. Именно это обстоятельство приводит к развитию в системах с пучками большого числа неустойчивостей, важнейшие из которых рассмотрены ниже.

Приравнивая параметр Пирса (28.15) к единице, найдем выражения для пирсовского тока бесконечно тонкого электронного пучка в волноводе (дрейфовом пространстве) произвольного поперечного сечения

126

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

30	ω (1010рад/с)
					2
25
20					1
15
10
5
0					k z (см-1)
0	2	4	6	8	10

Рис. 28.2

Волны плотности заряда тонкого пучка в волноводе при Ib = 2kA

127

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

30					2
	ω (1010рад/с)
25
20					1
15
10
5
0					k z (см-1)
0	2	4	6	8	10

Рис. 28.3

Волны плотности заряда тонкого пучка в волноводе при Ib =10kA

128

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

30	ω (1010рад/с)
					2
25
20
15					1
10
5
0					k z (см-1)
0	2	4	6	8	10

Рис. 28.4

Волны плотности заряда тонкого пучка в волноводе при Ib = 40kA

129

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

I		= I		u3	γ 3G ,	(28.16)
				c3
	Пирса		0		b

где Gb - геометрический фактор (26.13). Используя формулу (26.12), запишем следующее от-

ношение пирсовского и предельного вакуумного токов:

IПирса	u 3	γ 3		27,	γ	→1,	(28.17)
Ib0	=	(γ 2 3 −1)3 2	≈		γ >>1.
	c		γ 2 ,

Из (28.17) следует, что пирсовский ток, особенно в релятивистском случае, превышает пре-

дельный вакуумный ток. Далее будет показано, что при Ib > IПирса в нейтрализованном по заряду пучке развивается неустойчивость, которая приводит к срыву тока пучка. Следовательно, путем нейтрализации статического заряда пучка можно увеличить его ток, но не до бесконечности, а только в число раз, определяемом отношением (28.17).

Для цилиндрической геометрии – тонкий трубчатый пучок в круглом волноводе - для пирсовского тока из (28.16) имеем

	I	Пирса	= I	u3	γ 3	.	(28.18)
				0 c3	2 ln(R r )
					b

Отсюда для часто рассматриваемого нами примера (параметры пучка и волновода: γ = 2 ,

rb =1см, R = 2см) получаем оценку IПирса ≈ 64kA , в то время, как Ib0

≈ 5,5kA.

В случае однородного в поперечном сечении пучка в круглом волноводе, полагая па-

раметр (28.13) равным единице, для пирсовского тока имеем

I

Пирса

= I

u3

γ

3 µ0,12

≈1,44I

u3

γ

3

.

(28.19)

0 c3

4

0 c3

Используя формулу (26.18), получим следующее отношение пирсовского и предельного вакуумного токов круглого волновода, полностью заполненного однородным электронным пучком:

IПирса	u 3	γ 3		27,	γ	→1,	(28.20)
Ib0	=1,44	(γ 2 3 −1)3 2	≈1,44
	c		γ 2 ,		γ	>>1.

Формула (28.20), в отличие от (28.17), является менее общей и универсальной, поскольку относится к конкретной геометрии, а выражение (26.18) носит весьма приближенный характер.

§ 29. Предельный ток скомпенсированного электронного пучка

Если статический заряд пучка нейтрализован ионным фоном, то понятие предельного вакуумного тока не имеет смысла. Значительная нейтрализация заряда пучка возникает и при его инжекции в плазму. Можно ожидать, что при полной нейтрализации статического заряда

130