Электронные пучки

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

0	Источник
	+ электронов

Конденсорная линза

А0 В0 Объект

Объектив

В1	А1 Промежуточное изображение

Проекционная линза

А2	В2 Изображение

Рис. 12.1

Ход лучей в электронном микроскопе

51

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

линзы могут быть сделаны весьма короткофокусными - возможностей здесь больше, чем в оптике световых лучей. В электронной микроскопии используют пучки электронов с энергиями порядка 100кэВ. Для фокусировки электронов таких энергий требуются большие разности потенциалов в малой области пространства – порядка фокусного расстояния, что может быть не просто с технической точки зрения. Поэтому в электронных микроскопах чаще используются магнитостатические линзы.

Выдающимся достоинством электронного микроскопа является его исключительно высокая разрешающая способность, определяемая, как минимальное расстояние между точками объекта, которые еще можно различить

δ =	aλ	2)	.	(12.1)
	sin(θ

Здесь a ~ 12 , λ - длина волны, а θ2 - апертурный угол (Рис. 12.2). Чем меньше расстояние

δ , тем выше разрешающая способность. Причиной, ограничивающей разрешающую способность микроскопа, является дифракция волн.

o

Примем, что в случае оптического микроскопа λ = 5000 А . Если заменить sin(θ2) на единицу (у современных оптических микроскопов апертурный угол достигает почти π2 ), то

o

получим δ ≈ 2500 А, что и определяет предел разрешающей способности оптического мик-

роскопа. Длина волны де-Бройля электрона λ = hmv , где h - постоянная Планка. При энер-

o

гии электрона 100кэВ и выше λ < 5 10 − 2 А . Из-за значительных оптических ошибок (например, сферической аберрации) в электронных микроскопах используются пучки с очень небольшой апертурой θ2 ~ 10−2 рад. Поэтому для разрешающей способности элек-

o

тронного микроскопа по формуле (12.1) находим δ ≈ 2.5 А , что на три порядка выше разрешения лучшего оптического микроскопа.

52

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

θ

Рис. 12.2

Апертура линзы с диафрагмой

53

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

Глава III. Эмиссия электронов с поверхности проводников

§ 13. Электроны в проводниках

Основные методы получения электронных пучков основаны на испускании, или вырывании электронов с поверхности твердого тела с последующим их ускорением и фокусировкой внешним электромагнитным полем. Процесс испускания электронов называется электронной эмиссией. В данной главе будут рассмотрены наиболее важные механизмы электронной эмиссии с поверхности металлов, хотя в целом наше рассмотрение справедливо и при эмиссии электронов из других проводящих конденсированных сред. Предварительно сформулируем некоторые необходимые результаты теории электронного газа в металлах.

Высокая электропроводность металла указывает на то, что электроны в металле движутся относительно свободно. С другой стороны для выхода электрона из металла требуется затрата определенной энергии Aвых , называемой работой выхода. Если не вдаваться в несу-

щественные детали, то по отношению к электронам металл можно рассматривать как прямоугольную потенциальную яму со следующим пространственным распределением потенциальной энергии электрона:

0,	в металле,	(13.1)
U (x, y, z) =	, внеметалла,
U0

причем при низких температурах должно быть

Aвых =U0 −εmax , (13.2)

где εmax - характерная максимальная кинетическая энергия электрона в металле (см. ниже).

Одна из причин возникновения работы выхода следующая. Электроны, совершая тепловое движение могут пресекать поверхность металла и уходить от нее на некоторое расстояние. Над поверхностью металла возникает электронная атмосфера, а в металле у самой поверхности остается избыток положительно заряженных ионов. В результате образуется двойной слой, действующий подобно конденсатору. Для преодоления тормозящего электроны поля двойного слоя требуется энергия. Вклад в работу выхода вносит и взаимодействие между электроном, покидающим металл, и его электростатическим изображением в металле.

Из квантовой механики известно, что в трехмерной потенциальной яме с размерами

Lx , Ly , Lz составляющие импульса электрона определяются формулами

px =	2πhn	x	, py =	2πhny	, pz =	2πhn	z	.	(13.3)
	Lx			Ly		Lz

Здесь nx , ny , nz - целые числа, характеризующие дискретные энергетические уровни электро-

на

54

			Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков
	px2	+ py2	+ pz2		p2
εi =				=	i	,	(13.4)
		2m			2m

где i - совокупность чисел nx , ny , nz . Являясь фермионами, электроны подчиняются стати-

стике Ферми-Дирака, согласно которой число частиц на каждом энергетическом уровне εi

равно

	Ni =	gi		.	(13.5)
		exp((εi − µ) κ T )+1
	Здесь gi - кратность вырождения уровня,				κ - постоянная Больцмана, T - абсолютная темпе-

ратура, а µ - химический потенциал. Для частиц со спином ½ имеем gi = 2 .

Поскольку плотность электронов в металле огромна, а на каждом энергетическом

уровне находится не более двух частиц, то числа nx , ny , nz принимают большие значения.

Это позволяет от дискретного распределения (13.5) перейти к непрерывному распределению.

Полагая в (13.3) ∆nx = ∆ny = ∆nz =1 , для минимального объема элемента фазового простран-

ства получим

a = ∆p	∆p	∆p V = (2πh)3	,	(13.6)
x	y	z

где V = Lx Ly Lz - объем металла. В фазовом объеме (13.6) могут находиться не более двух электронов с противоположными направлениями спинов. Производя в (13.5) замену

ε

→ ε( p

2

) =

p2

, g

→ g

dpx dpy dpzV

=

2

dp

dp

dp V ,

(13.7)

2m

a

(2πh)3

i

i

i

x

y

z

получим окончательно следующее распределение электронов в металле по импульсам:

2

1

dn( p) = (2πh)3

exp(( p2

2m − µ) κ T )+1

dpxdpy dpz .

(13.8)

Здесь dn( p) = dN( p) V - концентрация электронов металла с импульсами

px , py , pz в объеме

dpx dpy dpz пространства импульсов.

Формула (13.8)

позволяет определить неизвестный пока химический потенциал µ .

Действительно, вычисляя интеграл по импульсам найдем концентрацию электронов в метал-

ле n0 , которая является известной величиной. С другой стороны в правой части (13.8) после интегрирования получиться некоторая функция φ(µ) . Из уравнения n0 = φ(µ) можно найти химический потенциал. Проделаем описанную процедуру для случая нулевой абсолютной температуры. При T = 0 распределение (13.8) принимает вид

		2		p	2	< 2mµ,
	dn( p) = f0 ( p)4πp2dp, f0 ( p) =		1,				(13.9)
		(2πh)3		p2 > 2mµ.
			0,

55

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

При написании (13.9) была использована цилиндрическая система в пространстве импуль-

сов. Приводя в (13.9) интегрирование по p от нуля до 2mµ , получим следующие соотно-

шения:

p		max	= h(3π 2n )1 3				,
						0
ε			≡ ε		=	p2		h2	(3π 2n )2 3	,	(13.10)
	max			F		max =
						2m		2m	0

µ = µ0 = εF .

Величина εF , называемая энергией Ферми, определяет максимальную кинетическую энер-

гию электрона в металле при нулевой температуре. Эта же величина совпадает при нулевой температуре и с химическим потенциалом µ0 . Именно энергия εmax из (13.10) входит в фор-

мулу (13.2).

Электронный газ с распределением (13.9) называется вырожденным. Как видно из (13.8) условие вырождения сводится не просто к T = 0 , а записывается в виде неравенства µ0 >> κ T , или

κ T <<	h2	(3π 2n )2 3 .	(13.11)
	2m	0

Формулы (13.10) имеют место в нулевом приближении по малому параметру κTµ0 . Можно показать, что в следующем приближении по параметру κTµ0 химический потенциал дается выражением

µ = µ			−	π	2		κ T		2		(13.12)
		1								.
	0			12			µ	0

Если выполнено неравенство противоположное (13.11), то распределение (13.8) переходит в классическое распределение Максвелла. Установим степень вырожденности электронного газа в металлах.

В качестве примера возьмем серебро. Подставляя в (13.10) n0 = 5,8 1022 см-3 для энер-

гии Ферми получим εF = 8,5 10−12 эрг = 5,3 эВ. Из равенства εF = κT находим, что энергии Ферми для серебра соответствует температура T = TF =61480 oK . Учитывая, что температура плавления серебра составляет 1235 oK , заключаем, что при всех разумных температурах, когда еще имеет смысл говорить о металле, как материале для эмиттера электронов, электронный газ в серебре является сильно вырожденным. Это имеет место и для других металлов, вплоть до самых тугоплавких. На Рис. 13.1 изображена функция распределения Ферми-

Дирака f (x) = [exp(α(x −1))+1]−1 , где x = εεF при α = 50 , что соответствует серебру при температуре плавления. Таким образом, рассматривая явления эмиссии электронов из метал56

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

1.5	f (x )
1
0.5
0			x
0	0.5	1	1.5

Рис. 13.1

Функция распределения электронов серебра при температуре плавления

57

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

лов, электронный газ в металлах можно считать вырожденным и пользоваться либо ступенчатым распределением (13.9), либо точным распределением (13.8) при выполнении сильного неравенства (13.11).

§ 14. Термоэлектронная эмиссия

При нулевой температуре энергия электронов не превосходит энергию Ферми и эмиссионный ток с поверхности твердого тела равен нулю. При повышении температуры увеличивается кинетическая энергия теплового движения электронов вблизи энергии Ферми. По-

являются электроны с энергией ε > εF + Aвых =U0 , которые могут преодолевать потенциаль-

ный барьер на поверхности металла и выходить наружу. Если в окружающем пространстве существует электрическое поле, направленное к поверхности, то оно будет увлекать вышедшие электроны, и возникнет электрический ток, называемый термоэлектронным. Само явление называется термоэлектронной эмиссией.

Для наблюдения термоэлектронной эмиссии можно использовать вакуумный диод с накаливаемым катодом и анодом. На анод подается напряжение V , предназначенное для отвода электронов с катода на анод. Если при постоянной температуре катода менять напряжение V , то термоэлектронный ток сначала будет возрастать, а затем достигнет предельного значения, называемого током насыщения. Величина тока насыщение определяется количеством электронов, которое может эмитировать катод в единицу времени. Если напряжение V настолько велико, что электрическое поле отводит от катода все эмитированные электроны, то дальнейшее увеличение V уже не может привести к увеличению термоэлектронного тока.

Для вычисление плотности тока насыщения js исходим из распределения Ферми-

Дирака (13.8). Используя неравенство (13.11) и полагая ε > εF , запишем (13.8) в виде

	2			εF
dn( p) =							−
	(2πh)	3	exp		exp
				κT

2	2	2
px	+ py	+ pz	dp		dp	y	dp	z	.	(14.1)
	2mκT			x

Направим координатную ось z из металла в вакуум перпендикулярно границе металла. В соответствии с (13.2) эмитированы катодом могут быть только те электроны, кинетическая энергия которых, обусловленная движением в направлении эмиссии, превосходит U0 , т.е.

pz >		2m(εF + Aвых ) .								(14.2)
Умножая (14.1) на pz m и осуществляя элементарное интегрирование по px и py										от − ∞ до
+ ∞ и по pz		от величины (14.2) до + ∞ , для плотности тока насыщения получим выражение,
		em				+∞		A
js =					3 (κT )2	∫exp(−x)dx = BT 2				(14.3)
	2π		2	h			exp −	вых ,
						Aвых κT		κT

58

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

известное как формула Ричардсона – Дешмана. Величина B , входящая в (14.3), определяется

	выражением
	B =	emκ2	=120A(см град)−2 ,	(14.4)
		2π 2h3

т.е. одинакова для всех металлов. Индивидуальные свойства эмиттера входят в выражение (14.3) только через работу выхода. Для металлов работа выхода составляет единицы элек-

трон-вольт. Например, для серебра Aвых = 3,7эВ.

Ток термоэлектронной эмиссии весьма не велик. Множитель перед экспонентой в формуле (14.3) при T =1000oK равен 1,2 108 A см−2 . Однако, поскольку Aвых >>κ T , экспоненциальный множитель в (14.3) очень мал: например, для серебра при температуре плавления имеем exp(− Aвых κ T )≈ 6 10−16 , т.е. js ≈10−7 A см−2 . Только применение тугоплавких катодов со специальными покрытиями позволяет достичь термоэлектронных токов с плотностями до нескольких ампер с квадратного сантиметра.

§ 15. Автоэлектронная эмиссия

Существенно большее значение для многочисленных приложений имеет автоэлектронная эмиссия. Она практически не зависит от температуры катода и имеет место даже при T = 0 . Поэтому автоэлектронную эмиссию называют также холодной эмиссией (другие используемые названия - туннельная эмиссия и полевая эмиссия). Автоэлектронная эмиссия состоит в вырывании электронов из металла под действием внешнего электрического поля. В основе явления лежит известный из квантовой механики эффект туннельного прохождения электрона через потенциальный барьер.

Пусть металл занимает область z < 0 , а при z > 0 имеется нормальное к поверхности z = 0 постоянное электрическое поле E , причем eE > 0 . Внутри металла электрическое поле, как известно, равно нулю. Потенциальная энергия электрона при наличии поля и с учетом потенциального барьера на границе металла имеет вид (Рис. 15.1)

0,		z < 0,	(15.1)
U (z) =	− eEz,	z > 0.
U0

Пренебрегая для простоты тепловым движением электронов, для диапазона изменения кине-

тической энергии электрона в металле имеем 0 < ε < εF <U0 . Внешнее электрическое поле,

как видно из формулы (15.1) и Рис. 15.1, приводит к тому, что ширина потенциального барьера, отделяющего электроны в металле от свободного пространства, становится конечной. Это и делает возможным туннелирование электронов из металла.

Прежде чем провести соответствующее квантовомеханическое рассмотрение заметим, 59

Александров А.Ф., Кузелев М.В. Физика электронных пучков

U =U0

Aвых

U = εF

U = ε

z

z = 0

z = z(ε)

Рис. 15.1

Потенциальная энергия электрона в металле при наличии внешнего электрического поля

60