Приложение

Технология решения дифференциальных уравнений в системе MATLAB такова:

1. Создание новой функции, представляющей собой m-файл вычисления правых частей системы дифференциальных уравнений (3):

а) Простейшее подстановка констант в функцию для построения фазового портрета

function dy = rigid(t,y)

dy = zeros(2,1);

dy(1) = -0.5.*y(1) + y(2);

dy(2) = -0.5.*y(1) - y(2);

или

function dy = rigid2(t,y)

dy = zeros(2,1);

a=1;

b=2;

dy(1) = (b-1).*y(1) +(a^2).* y(2);

dy(2) = -b.*y(1) - (a^2).* y(2);

б)Циклическое использование функций для построения фазового портрета

function dy = rigid1(t,y)

dy = zeros(2,1);

for b=1:0.001:3

for a=0:0.1:4

if b<a^2+1

dy(1) = (b-1).*y(1) +(a^2).* y(2);

dy(2) = -b.*y(1) - (a^2).* y(2);

end

end

end

2. Ввод функции ode ():

options = odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-6 1e-6]);

[T,Y] = ode45(@rigid2,[0 10],[1 0],options);

plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.')

3. Значения функций X и Y, по которым строились фазовые портреты

[T,Y] = ode45(@rigid2,[0 10],[1 0],options)

Модель Лотки-Вольтерра.

Пример решения задачи с использованием программы MATLAB

Задача . Для описания некотрых химических и биологических колебательных систем используют механизм Лотки-Вольтерра:

где X и Y – интермедиаты. Вещества А добавляется в систему, а вещество В выводится из нее с постоянной скоростью u. Составьте систему кинетических уравнений для этой модели численно решите ее при значениях параметров k₁= 0.01, k₂=0.03, k₃=0.04. u= 0.1, [A]₀ =5, [X]₀=[Y]₀=0.5, [B]₀ =0. Постройте графики зависимости концентраций всех веществ от времени и составьте фазовый портрет системы (зависимость [X] от [Y]).

% файл для вызова функции L_v

close

% обявление глобальных (доступных везде) констант

global k_0 k_1 k_2

% определение переменных

k_0 = 0.01;

k_1 = 0.03;

k_2 = 0.04;

% задание начальных условий

x_0 = [0.5 0.5];

% задание конечного момента времени

T = 2000;

% расчет траектории (вызов функции L_v)

[t,y] = ode45('L_v',[0 T],x_0);

% построение траекторий от времени

figure(1),plot(t,y),xlabel('time,sec'),ylabel('Concentration')

% построение первой части фазового портрета

figure(2),plot(y(:,1),y(:,2)), ,xlabel('Concentration'),ylabel('Concentration'), title('Phase space')

hold on

% расчет и построение второй части фазового портрета

x_0 = [1.8 0.4];

[t,y] = ode45('L_v',[0 T],x_0);

figure(2),plot(y(:,1),y(:,2)), hold off

% построение анимированной траектории в фазовом пространстве

figure(3), comet(y(:,1),y(:,2)), hold off

Примеры решение задач

Литература

1. Шаповалов В.И. Основы синергетики: Макроскопический подход М.: Фирма «Испо-Сервис» 2000. Гл.5-8

2. Базаров И.П. Термодинамика М.: Высш.шк. 1991. Гл.15.

3. Пригожин И. От существующего к возникающему: время и сложность в физичексих науках. М.: Наука. 1985. Гл.4,5.

4. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979 г., Гл.4, 13

5. http://www.radiomaster.ru/cad/mc12/glava_09