Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

3. Со)ласно условию а), запишем систему

10x – 1 – x – 2 l 0,	10x – 1 l x + 2,
т. е.	(2)
2x + 3 + x – 6 > 0,	2x + 3 > 6 – x.

4. При решении системы (2) нужно рассмотреть два случая: 0,1 m m x < 3, 3 < x < 6 и x > 6. Поэтому система (2) равносильна следующей сово упности:

			0,1 m x < 3, 3 < x m 6,
				10x – 1 l x + 2,				(3)
				2x + 3 > 6 – x;
				x > 6,
				10x – 1 l x + 2,				(4)
				2x + 3 > 6 – x.
5. Решим систему (3):
	0,1 m x < 3, 3 < x m 6,						0,1 m x	< 3, 3 < x m 6,
	(	10x – 1 )2 l (x + 2)2, т. е.
							(x – 1)(x – 5) m 0,
	(	2x + 3 )2 > (6 – x)2,					(x – 3)(x – 11) < 0.
Отсюда находим, что 3 < x m 5 (рис. 104).
6. Решим систему (4):
				x > 6,
				(x – 1)(x – 5) m 0,
				(x – 3)((x – 11) < 0.

Система (4) не имеет решений (рис. 105).

7. Теперь составим систему, используя условие б):

10x – 1 m x + 2,

(5) 2x + 3 < 6 – x.

Рис. 104

Рис. 105

181

8. Ка и в п. 4, при решении системы (5) нужно рассмотреть два случая: 0,1 m x < 3, 3 < x m 6 и x > 6. В соответствии с этим получаем следующую сово упность систем:

	0,1 m x < 3, 3 < x m 6,
		10x – 1 m x + 2,		(6)
		2x + 3 < 6 – x;
		x > 6,
		10x – 1 m x + 2,		(7)
		2x + 3 < 6 – x.
9. Решим систему (6):
			0,1 m x < 3, 3 < x m 6,
			(x – 1)(x – 5) l 0,
			(x – 3)(x – 11) > 0.

Отсюда находим, что 0,1 m x m 1 (рис. 106). 10. Ле) о установить, что система (7) не имеет решений, та а в ее третьем неравенстве левая часть положительна, а правая

отрицательна.

Рис. 106	11. Ита , получаем ответ: 0,1 m x m 1,
	3 < x m 5.

II способ. 1. Находим ОДЗ: x l 0,1, x − 3.

2. Воспользуемся методом интервалов. Для это)о найдем орни числителя и знаменателя данной дроби (1) и определим интервалы, воторых зна и числителя и знаменателя совпадают.

а) 10x – 1 – x – 2 = 0, или 10x – 1 = x + 2, т. е.

x + 2 l 0,

10x – 1 = (x + 2)2,

от уда x = 1, x = 5.

б) 2x + 3 + x – 6 = 0, или 2x + 3 = 6 – x, т. е.

x m 6,

2x + 3 = (6 – x)2,

от уда x = 3.

С учетом ОДЗ дроби отметим на одной оординатной прямой точ-и x = 0,1, x = 1, x = 3, x = 5 (рис. 107, а), а на дру)ой оординатной прямой — точ и x = 0,1, x = 3, x = 6 (рис. 107, б). Проследим за изме-

182

Рис. 107

нением зна ов в полученных интервалах и найдем интервалы, в оторых зна и совпадают.

В результате получим ответ: 0,1 m x m 1, 3 < x m 5.

К упражнению 6з

Требуется решить неравенство

- - - - - 5 - - - - x - - - - - – - - - - - 4- -	l -----x-----–-----2------ .	(1)
x + 4	5x – 4

I способ. 1. Находим ОДЗ:

5x – 4 > 0,		т. е.	4
x + 4	− 0,		x > -- .
			5

2.Напрашивается мысль о возведении обеих частей неравенства (1)

ввадрат, но это привело бы довольно )ромозд ому неравенству. Кроме то)о, выражение x – 2 в ОДЗ может быть а положительным, та и отрицательным, что создало бы дополнительные сложности.

3.Преобразуем неравенство (1) следующим образом:

- - - - - 5 - - - - x - - - - - – - - - - - 4 - -	– -----x-----–-----2------ l 0; -----	5----x-----–-----4------·--------5---x-----–------4-----–-----(--x-----–------2----)--(--x------+-----4----)			l 0;
x + 4	5x – 4	(x + 4)( 5x – 4)
5 - - - - x - - - - - -–-----4-----–-----x----2----+------2----x-----–-----4----x----------+ -8- l 0;			--------x----2----–-----3----x------–-----4---------	m 0.	(2)
	(x + 4) ( 5x – 4)		(x + 4)( 5x – 4)

4.Пос оль у в неравенстве (2) знаменатель положителен, это неравенство равносильно следующему: x2 – 3x – 4 m 0.

5.С учетом ОДЗ имеем систему

x > 4 ,

--

5

x2 – 3x – 4 m 0,

от уда следует, что 4 < x m 4.

--

5

183

II способ. 1. Находим ОДЗ: x > 4 .

--

5

2. Учитывая, что в ОДЗ выражения x + 4 и 5x – 4 положительны и толь о выражение x – 2 может менять зна , будем решать нера-

венство (1) на двух промежут ах:			4
			-- < x < 2 и x l 2.
			5
4	< x < 2 имеем систему
3. В промежут е --
5
		4
		-- < x < 2,
		5
		5x – 4		x – 2	(3)
		---------------------	l	--------------------- .
		x + 4		5x – 4

Та а левая часть ее второ)о неравенства положительна, а правая — отрицательна, то это неравенство выполняется при всех x из

промежут а	4	4
	--	< x < 2. Ита , -- < x < 2 — решение системы (3).
	5	5
4. В промежут е x l 2 имеем систему
			x l 2,		(4)
			5x – 4	l x – 2 .
			----x-----+------4------
				5x – 4

При x l 2 все члены второ)о неравенства системы (4) положительны, а потому от это)о неравенства можно перейти равносильному:

5x – 4 l (x + 4)(x – 2), или x2 – 3x – 4 m 0,

от уда –1 m x m 4. Учитывая, что x l 2, получаем решение системы (4): 2 m x m 4.

5. Объединяя решения систем (3) и (4), запишем ответ: 4 < x m 4.

--

5

К упражнению 7

1. Масса сплава, равная 4 ), содержит 40% олова. Значит, масса

олова в первоначальном сплаве равна 4 ·		2		8	( )).
		-- =		--
		5		5
	8	=	12		) меди.
2. В этом же сплаве содержится 4 – --			------
	5		5
3. Пусть x — оличество олова, оторое нужно добавить перво-
начальному сплаву. То)да имеем пропорцию:
	70		8
			--
40%	70%		5	= 2,8 ).
-------------	= ------------- , т. е. x = --------------
8	x	40

--

5

184

К упражнению 8а

Имеем

310 + 73 · 310 – 73 = 3 ( 10 + 73)(10 – 73) = 327 = 3.

К упражнению 8б

Находим

3------(--4-----+----------17--------)--2			+ 17 = 3------(--4-------+--------17-------)---2---(--4-----–----------17-------)--2-							+ 17 =
3	4 – 17					4 –	17
	3	(16 – 17)2		+	17 =		1	+	17 =
	= ------	-------	-------------------				----------
		4 – 17				4 –	17
	= 1-----+------4-----	---17---------–-----17----- = 4----			-----17---------–----16------ = 4----(-------			17---------–-----4----) = –4.
	4 –		17		4 –	17	4 –		17
К упражнению 9а
1. Преобразуем данное уравнение:
	ax – 2x – 3x = –3,					или	x(a – 5) = –3.				(1)
2. Если a − 5, то уравнение (1) имеет единственное решение x =											------3------ .
											5 – a
3. Если a = 5, то уравнение (1) примет вид x · 0 = –3, т. е. оно не
имеет решений.
К упражнению 9б
1. Имеем
	a – ax + 2 – 3x + ax = 0, или							3x = a + 2.			(1)

2. Уравнение (1) при всех значениях a имеет единственное реше-

ние x = a + 2 .

-------------

3

К упражнению 10а

1.Уравнение x + 3 = 0 имеет орень x = –3 .

2.Уравнение x2 – 3 = 0 имеет орни x1 = –3 , x2 = 3 .

3.Ка известно, множество рациональных чисел представляет собой объединение множеств целых и дробных чисел (положительных

иотрицательных). Корни данных уравнений не являются рациональными числами.

4.Далее, известно, что если два уравнения не имеют решений на данном числовом множестве, то та ие уравнения считаются равносильными на этом множестве.

185

5. Ита , на множестве рациональных чисел данные уравнения равносильны.

К упражнению 10б

1. Корень перво)о уравнения x = –3 и орни второ)о уравнения

x1 = –3 , x2 = 3 не принадлежат множеству целых чисел.

2. Та им образом, на множестве целых чисел данные уравнения равносильны.

К упражнению 10в

1. Корень перво)о уравнения x = –3 и орни второ)о уравнения x1 = –3 , x2 = 3 принадлежат множеству действительных чисел.

2.Известно, что два уравнения называются равносильными на данном числовом множестве, если аждое решение ( орень) одно)о уравнения является решением ( орнем) дру)о)о, и наоборот.

3.Следовательно, уравнения x + 3 = 0 и x2 – 3 = 0 на множестве действительных чисел неравносильны.

186

Т е м а 11

À

Понятие о степени положительного числа с иррациональным показателем.

Показательная функция, ее свойства и график. Показательные уравнения. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств

Теоретичес ие сведения

1. Понятие о степени положительного числа с иррациональным показателем

1°. В теме 5 было расширено понятие степени с натуральным по азателем и введено понятие степени числа с любым рациональным по азателем.

Пользуясь этим понятием, можно задать фун цию y = ax,де a > 0, a − 1, x Ý Q, оторую называют по азательной фун - цией, определенной на множестве рациональных чисел.

2°. Можно до азать, что существует монотонно возрастающая фун ция, определенная на множестве действительных чисел и совпадающая с рассмотренной на множестве рациональных чисел. Она задается формулой y = ax, де a > 0, a − 1, x Ý R. В урсе средней ш олы это положение принимают без до азательства.

3°. Та им образом, теперь можно рассматривать степени с ир-

рациональными по азателями (например, 32 , 5π).

Используя монотонность фун ции, можно у азать раницы для aα, выраженные степенями числа a с рациональными по азателями. Например, та а

1 < 2 < 2; 1,4 < 2 < 1,5; 1,41 < 2 < 1,42; 1,414 < 2 < 1,415; ...,

то в силу монотонности по азательной фун ции имеем 31 < 32 < 32; 31,4 < 32 < 31,5;

31,41 < 32 < 31,42; 31,414 < 32 < 31,415; ... .

187

До азывается, что существует единственное число, удовлетворяющее всем этим неравенствам. Это число и принимают

за степень числа 3 с иррациональным по азателем 2 .

4°. Анало ичные рассуждения можно провести для любо о числа a > 0 и любо о иррационально о по азателя x.

2. Показательная функция, ее свойства и график

1°. Фун цию, заданную формулой вида y = ax, де a — не-оторое положительное число, не равное единице, называют

по азательной.

2°. Фун ция y = ax при a > 1 обладает следующими свойствами, оторые иллюстрируются ее рафи ом (рис. 108):

а) область определения — множество всех действительных чисел, т. е. D(f) = R;

б) множество значений — множество всех положительных чисел, т. е. E(f) = R+;

в) фун ция возрастает;

) при x = 0 значение фун ции равно 1; д) если x > 0, то ax > 1;

е) если x < 0, то 0 < ax < 1.

3°. Фун ция y = ax при 0 < a < 1 обладает следующими свойствами, оторые иллюстрируются ее рафи ом (рис. 109):

а) область определения D(f) = R; б) множество значений E(f) = R+;

в) фун ция убывает;

) при x = 0 значение фун ции равно 1; д) если x > 0, то 0 < ax < 1;

е) если x < 0, то ax > 1.

Рис. 108

Рис. 109

188

3. Показательные уравнения

1°. Уравнение, содержащее переменную в по азателе степени, называют по азательным. Простейшим примером по а- зательно о уравнения служит уравнение ax = b ( де a > 0, a − 1). Это уравнение можно решить рафичес и (рис. 110).

2°. Решение по азательно о уравнения
видa af(x) = ag(x) ( де a > 0, a − 1) основа-
но на том, что это уравнение равносильно				Рис. 110
уравнению f(x) = g(x).
Пример. Решить уравнение:
	x2	5
а) 3		– -- x	= 7 9 ; б) 32x + 2 + 32x = 30.
		7
			2		x2	5
			--	, получим 3		– -- x	=
Р е ш е н и е. а) Представив 7 9 а 37						7

2

--

= 37 , т. е. левая и правая части уравнения приведены одному основанию. Следовательно, данное уравнение равносильно

вадратному уравнению x2	5	2	, от уда x		2	; x		= 1.
	– -- x = --			1	= –--		2
	7	7			7

б) Представим 32x + 2 а 32x · 32 и положим 32x = y. То да получим 9y + y = 30 _ 10y = 30 _ y = 3; 32x = 3 _ 2x = 1 _ _ x = 0,5.

3°. Уравнение вида Aa2x + Bax + C = 0 с помощью подстанов и ax = y сводится вадратному уравнению Ay2 + By + C = 0.

Пример. Решить уравнение:

а) 52x – 6 · 5x + 5 = 0; б) 3 · 16x + 2 · 81x = 5 · 36x.

Р е ш е н и е. а) Положим 5x = y. То да 52x = (5x)2 = y2 и данное уравнение примет вид y2 – 6y + 5 = 0, от уда y1 = 1, y2 = 5.

Следовательно, 5x = 1, т. е. x = 0; 5x = 5, т. е. x = 1. Ита , получаем ответ: x1 = 0, x2 = 1.

б) Разделив обе части уравнения на 36x − 0, получим

3 ·	16		x	+ 2 ·	81		x	3 ·	4		x	+ 2 ·	9		x
	------				------		= 5;		--				--		= 5.
	36				36				9				4

189

Положим	4		x
	--		= y; то да имеем
	9
2	= 5; 3y2 – 5y + 2 = 0; y									= 1;		y		2	;
3y + --									1				2	= --
y														3
4 x					= 0;	4	x	2		; x		=	1
--		= 1; x		1		--		= --			2		-- .
9						9		3					2

Ита , x1 = 0, x2 = 1 — орни данно о уравнения.

--

2

4. Показательные неравенства

1°. Неравенство, содержащее переменную в по азателе степени, называют по азательным.

2°. Решение по азательных неравенств вида af(x) < ag(x) ( де a > 0, a − 1) основано на следующих утверждениях:

если a > 1, то af(x) < ag(x) _ f(x) < g(x); если 0 < a < 1, то af(x) < ag(x) _ f(x) > g(x)

(это следует из то о, что при a > 1 по азательная фун ция возрастает, а при 0 < a < 1 — убывает).

Пример. Решить неравенство:

1	;	б) (0,25)6 x – x	2	> 0,255; в) 4x – 6 · 2x + 8 < 0.
а) 3x < --
9
Р е ш е н и е. а) Замечая, что					1	= 3–2, перепишем данное
					--
					9

неравенство в виде 3x < 3–2. Та а основание степени больше 1, то x < –2. Ита , получаем ответ: (–×; –2).

б) Пос оль у 0 < 0,25 < 1, заданное неравенство равносильно неравенству 6x – x2 < 5, т. е. (x – 1)(x – 5) > 0. Решая последнее, получаем ответ: (–×; 1) (5; +×).

в) Положим 2x = y; то да 4x = (2x)2 = y2 и данное неравенство примет вид y2 – 6y + 8 < 0. Решив это неравенство, находим 2 < y < 4. Возвращаясь переменной x, получаем 2 < 2x < 22, от уда 1 < x < 2. Ита , (1; 2) — решение данно о неравенства.

5. Системы показательных уравнений и неравенств

Известные способы решения систем ал ебраичес их уравнений и неравенств применяются и решению систем, содержащих по азательные уравнения и неравенства.

190