Готовимся к экзамену по математике_Крамор В.С_2008 -544с

a = 0, a =1, то x = 0,5; в) если a − 0, a − 1, то x1 = a, x2 = a + 1; если a = 1, то x = 2; если a = 0, то нет орней; )) если b − –2a, то x = –b; если

b = –2a, то нет орней; д) если k − 0, то x1	= k, x2	5k	; если k = 0, то
		= –------
		3

нет орней. 8. а) k = 12,25; б) k1 = 1, k2 = 3; в) k1 = 1, k2 = 2, k3 = 6. 9. 37 учащихся. 10. 23 стороны. 11. 6 и 4 л. 12. 10 и 15 дней. 13. 10

и 5 ч. 14. a	1	= –5, a	2	= 5. 15. a = 5. 16. a					1	= –0,5; a			2	= 0,5. 17. а) p2 – 2q;
				8	. 19.	а) x		= –1, y				= –4; x				= 1, y		= 2; б) x =
б) p(3q – p2). 18. с = –------							1				1				2		2
				25														1

=–1, y1 = –2; x2 = 2, y2 = 1; в) x1 = –3, y1 = –2; x2 = 3, y2 = 2. 20. а) x1 =

=–1, y1 = –2; x2 = 3, y2 = –2; x3 = –3, y3 = 2; x4 = 1, y4 = 2; б) x1 = –2,5,

y = –1,5; x = 1, y = 2; в) x = –1 , y = 2. 21. а) x = –4, y = –2; x = –2,

1 2 2 -- 1 1 2

3

y2 = –4; x3 = 4, y3 = 2; x4 = 2, y4 = 4; б) x1 = –4, y1 = –2; x2 = 4, y2 = 2; в) x1 = –3, y1 = –1; x2 = 3, y2 = 1; )) x1 = 64, y1 = 8; x2 = 8, y2 = 64. 23. 3 и 9. 24. x = 1, y = –1, z = –2. 25. а) –10; б) –6; в) –8; )) –10. 26. а) k = 0; k = 4; б) k = –3; в) k = –1; k = 1. 27. а) При a m 0; б) при любых a; в) при a l 0; )) при a l 0 ; д) при a = 0; е) при a m 0; ж) при любых a; з) при любых a. 28. 9,6 ). 29. 1260 р. 30. 3487,5 р. 31. 15,2%. 32. Из 6,25 ).

Решения и методичес ие у азания

К упражнению 1а

1. Для построения )рафи а данной фун ции используем определение модуля. Имеем

			3x – 4 l 0,	4	,
				x l --
а)			y = 3x – 4 + 1, или	3
				y = 3x – 3;			4
			3x – 4 < 0,			x <	-- ,
б)			y = –(3x – 4) + 1,	или			3
						y = –3x + 5.			; +×
Построим )рафи фун ции y = 3x – 3 на множестве
								4
								--
								3

(рис. 28, а) и )рафи фун ции y = –3x + 5 на множестве		–×;	4
			--
			3

(рис. 28, б).

2. Объединив эти )рафи и, получим ис омый )рафи (рис. 28, в). 101

Рис. 28

К упражнению 2а

1. В выражении, определяющем заданную фун цию, найдем те значения переменной x, при оторых величины, находящиеся под зна-

ом модуля, обращаются в нуль: x + 3 = 0, x1 = –3; 2x – 1 = 0, x2						1
						= -- .
						2
2. Точ ами x1 = –3 и x2	1	оординатная прямая разбивается на
	= --
	2
три промежут а: (–×; –3),	–3;	1	и	1	; +× .
		--		--
		2		2

3. Рассмотрим данную фун цию в промежут е (–×; –3) и запи-

шем ее выражение без зна а модуля:
x < –3,	или	x < –3,
y = –(2x – 1) + (x + 3) + 3x – 1,		y = 2x + 3.

Построим )рафи полученной фун ции (рис. 29, а).

4. Рассмотрим данную фун цию в промежут е –3;		1		и запишем
		--
		2
ее выражение без зна а модуля:
1	–3 m x <			1	,
–3 m x < -- ,				--
2	или			2
y = –(2x – 1) – (x + 3) + 3x – 1,	y = –3.

Построим )рафи полученной фун ции (рис. 29, б).

102

5. Рассмотрим данную фун цию в промежут е		1	; +×	и запи-
	--
		2

шем ее выражение без зна а модуля:

1	,		1	,
x l --			x l --
2		или	2
y = 2x – 1 – (x + 3) + 3x – 1,			y = 4x – 5.

Построим )рафи полученной фун ции (рис. 29, в).

6. Объединив построенные в пп. 3—5 )рафи и, получим ис омый )рафи (рис. 29, ).

Рис. 29

103

К упражнению 3а

1. Фун ция y = 1 определена при всех x Ý R, x − 0.

--

x

2. Фун ция нечетная, та а f(–x) = –f(x). Следовательно, ее )рафи симметричен относительно начала оординат. Это означает, что достаточно рассмотреть фун цию толь о при x > 0.

				1
				3. Графи фун ции y = -- изображен на рис. 30;
				x
				е)о ветви расположены в I и III четвертях.
				4. Оси оординат являются асимптотами ри-
				1
				вой y = -- . Саму ривую, а известно, называют
				x
				)иперболой, а точ у пересечения асимптот — ее
				центром.
				З а м е ч а н и е 1. Вернемся фун ции y =
				1	1
				= -- (см. рис. 30) и отметим, что для дроби	-- вы-
Рис. 30				x	x
				полнены следующие условия:
а) числитель дроби равен 1, т. е. положителен;
б) оэффициент при x равен 1, т. е. положителен;
в) перед дробью стоит зна «плюс».
				1
Ка мы отмечали, ветви )иперболы y = -- расположены в I и III чет-
				x
вертях системы оординат.
				ax + b	(сме-
В дальнейшем при построении )рафи а фун ции y = -----------------
				cx + d

щенной )иперболы) мы будем проводить анало)ичные рассуждения, чтобы установить, в а их четвертях (относительно вспомо)ательных осей оординат) расположен )рафи фун ции.

З а м е ч а н и е 2. При построении )рафи а дробно-линейной

фун ции y = ax + b можно использовать два способа.

-----------------

cx + d

Первый способ за лючается в следующем:

а) сначала строят )рафи фун ции y = k в системе оординат xOy;

--

x

б) затем сдви)ают этот )рафи а твердое тело вдоль осей оординат;

в) при этом новые оси оординат являются асимптотами ис омо)о )рафи а.

Второй способ состоит в следующем:

а) сначала строят )рафи фун ции y = k в системе оординат x′O′y′;

--

x

б) затем выполняют параллельный перенос осей оординат;

в) при этом оси оординатной системы x′O′y′ являются асимптотами ис омо)о )рафи а.

104

К упражнению 3б

	1
1.	Фун ция y = x------–-----2-- определена при всех x − 2. Отсюда следует,
что она определена на двух интервалах (–×; 2) и (2; +×).
2.	Рассматривая дробь	------1-------	, видим, что: а) ее числитель положи-
		x – 2

телен; б) оэффициент при x положителен; в) перед дробью стоит зна «плюс».

3. Та им образом, )рафи ом фун ции является )ипербола, ветвиоторой расположены в I и III четвертях системы оординат, имеющей начало в точ е (2; 0) (рис. 31, а).

Рис. 31

4.На рис. 31, а верти альная ось проведена пун тиром. Она пересе ает ось Ox а точ е x = 2, оторая не принадлежит области определения фун ции.

5.Остается провести ось Oy по отношению пун тирной асимптоте, эта ось пройдет левее точ и x = 2 и изображена на рис. 31, б сплошной линией.

6.Из рис. 31, б видно, что ось Oy пересе ает )рафи в не оторой точ е. Ее абсцисса равна нулю, а ординату найдем та : пола)ая x = 0,

получим y = 1 = –1 .

------------- --

0 – 2 2

Ита , )рафи фун ции y = 1 построен (рис. 31, б).

-------------

x – 2

К упражнению 3в

1.Найдем область определения фун ции: x − 3, т. е. фун ция определена на двух интервалах: (–×; 3) и (3; +×).

2.Та им образом, )рафи фун ции имеет верти альную асимптоту x = 3.

105

Рис. 32

3. Определим, в а их четвертях относительно вспомо)ательных осей оординат будет находиться )рафи . Рассуждая, а и при решении упр. 3а и 3б, за лючаем, что он будет расположен в I и III четвертях относительно вспомо)ательных осей O′x′ и O′y′ (рис. 32, а).

4. Найдем )оризонтальную асимптоту )рафи а фун ции f(x) = 2 +

+ 1 . Сла)аемое 1 стремится нулю при x º ä×. Поэтому )ра-

------------- -------------

x – 3 x – 3

фи фун ции f(x) при больших по модулю значениях x будет нео)раниченно приближаться прямой y = 2. Эта прямая и есть )оризонтальная асимптота )рафи а.

	1	нужно
5. Теперь для построения )рафи а фун ции f(x) = 2 + -------------
	x – 3
1	на 2 ед. вверх и на 3 ед. вправо.
сместить )рафи фун ции y = --
x

6. Одна о мы не будем перемещать )рафи , а сделаем следующее: а) проведем ось Ox параллельно оси O′x′ ниже ее на 2 ед.;

б) проведем ось Oy параллельно оси O′y′ левее ее на 3 ед.;

в) пересечение осей Ox и Oy даст точ у O — начало оординат.

7. Ита , )рафи фун ции f(x) = 2 + 1 построен (рис. 32, б).

-------------

x – 3

8. На рис. 32, б видно, что )рафи пересе ает основные (сплошные) оси оординат в точ ах A и B. Найдем оординаты этих точе :

1	5	, т. е. A	0;	5	-	;
а) если x = 0, то y = 2 – --	= --			--
3	3			3

5	, т. е. B	5	; 0- .
б) если y = 0, то x = --		--
2		2

К упражнению 3

1. Фун ция y = 2x – 5 определена при любом значении x, роме

-----------------

x – 3

x = 3. Та им образом, x = 3 — верти альная асимптота )рафи а.

106

2. До сих пор мы строили )рафи и та их дробно-линейных фун - ций, )де в числителе дроби отсутствовала переменная. Для данной фун ции переменная в числителе присутствует.

3. Чтобы избавиться от переменной в числителе дроби, нужно выделить целую часть этой дроби.

4. Упростим выражение 2----x------–-----5--				та :
		x – 3
а) вынесем в числителе за с об и оэффициент 2, то)да дробь при-
мет вид					x – 5
				2
		2----x------–-----5--	= ----		-------------	-2---- ;
		x – 3			x – 3
б) выражению x – 5--		, записанному в с об ах, прибавим 3 и вы-
	2
чтем 3, то)да получим
		5				5
2	x	– 2--	2	x	– 3 + 3 – 2--		;
----	--------	---------- =	----	--------	----x-----–-----3-----------------
	x – 3
в) упростим последнюю дробь:
2 x – 3 + 3 – 5--		2(x – 3) + 2				3 – 5--
--------------------------------------	2-----	= -------------	----	---x----	-------------	----------2-----	= 2 +	------1------- .
x – 3					– 3			x – 3

5. В результате мы получили ту же фун цию, что и в упр. 3в. Ее )рафи изображен на рис. 32, б.

З а м е ч а н и е. В данном примере было по азано, а в дроб- но-линейной фун ции выделить целую часть.

К упражнениям 3д—з

См. соответственно рис. 33—36.

Рис. 33

Рис. 34

107

Рис. 35	Рис. 36
К упражнению 4а
1	определена при всех x Ý R, роме x = 0.
1. Фун ция y = –--
x

2. Фун ция нечетная, та а f(–x) = –f(x). Поэтому ее )рафи симметричен относительно начала оординат.

3. Дробь – 1 запишем та : – 1 = –1 , )де k = – 1 < 0.

-- -- ------

x x x

4.Это означает, что )рафи данной фун ции расположен во II и IVоординатных четвертях.

5.Ис омый )рафи изображен на рис. 37.

К упражнению 4б

1. Фун ция y = 1 определена при всех x Ý R, роме x = 2.

-------------

2 – x

2.Графи фун ции имеет верти альную асимптоту x = 2.

3.Преобразуем данную фун цию:

y = 1 = – 1 = –1 .

------------- ------------- -------------

2 – x x – 2 x – 2

4.Та а k = –1 < 0, то ветви )иперболы будут находиться во II и IV четвертях системы оординат, началом оторой является точ-а (2; 0).

5.Ис омый )рафи изображен на рис. 38.

К упражнениям 4в—е

См. соответственно рис. 39—42.

108

Рис. 37

Рис. 39

Рис. 41

Рис. 38

Рис. 40

Рис. 42

109

К упражнению 5а

1.Пусть 5x – 6 l 0; то)да данное уравнение примет вид x2 = 5x – 6.

2.Составим систему

5x – 6 l 0,			6	,
			x l --
x2 = 5x – 6,	или	5
			x = 2, x = 3.

Эта система имеет решения x = 2, x = 3.

3.Пусть 5x – 6 < 0; то)да данное уравнение примет вид x2 = –(5x – 6).

4.Составим систему

			6
5x – 6 < 0,			x < --	,
x2 = –(5x – 6),	или	5
			x = –6, x = 1.

Решениями этой системы являются x = –6, x = 1. Ответ: x1 = 2, x2 = 3, x3 = –6, x4 = 1.

К упражнению 5б

1. Снова используем определение модуля и решим уравнение без

подробно)о описания действий.
2.		x l 0,	или		x l 0,
		x2 – 2x – 3 = 0,			x = –1, x = 3.
Значит, x = 3.
3.		x < 0,	или		x < 0,
		x2 + 2x – 3 = 0,			x = –3, x = 1.

Значит, x = –3. Ответ: x1 = 3, x2 = –3.

К упражнению 6а

1. Пола)ая 3x2 – 2 = y, перепишем данное уравнение в виде

y2 + 6y – 7 = 0.

2.Решив уравнение y2 + 6y – 7 = 0, находим y1 = –7, y2 = 1.

3.Значит, 3x2 – 2 = –7 или 3x2 – 2 = 1.

4.Уравнение 3x2 = –5 не имеет орней.

5.Уравнение 3x2 = 3 имеет орни x = –1, x = 1.

Ответ: x1 = 1, x2 = 1.

110