Исходные данные задачи распределения средств между инвестиционными проектами

Объем выделенных денежных средств, x (млн. руб.)	Дополнительный доход инвестиционного проекта в зависимости от объема выделенных денежных средств, fi (x) (у.е.)
	F1 (x)	F2 (x)	F3 (x)	F4 (x)
0	0	0	0	0
10	6	4	4	5
20	13	17	10	11
30	20	19	13	15
40	30	23	20	18
50	30	26	27	29

Решение.

1. Определим размер максимального дополнительного дохода от вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты. Согласно обратной схеме Беллмана показатель эффективности 4-ого шага:

Z₄*(Q)=f₄(Q)

Z₄*(Q) = {f₄(Q) - показатель эффективности 1-го инвестиционного проекта.

Z₃*(Q) = {f₃(X) + Z₄*(Q-x)} − объединённый показатель эффективности 2-х инвестиционных проектов.

Произведем вычисления значений функции Z₃* (Q) и представим их в табл.

Z₃* (10)=max{0+5;4+0}=5

Z₃* (20)=max{0+11;4+5;10+0}=11

Z₃* (30)=max{0+15;4+11;10+5;13+0}=15

Z₃* (40)=max{0+18;4+15;10+11;13+5;20+0}=21

Z₃* (50)=max{0+29;4+18:10+15;13+11;20+5;27+0}=29

Дополнительный доход и показатели эффективности

Объем выделенных денежных средств, x (млн. руб.)	Дополнительный доход инвестиционного проекта в зависимости от объема выделенных денежных средств, fi (x) (у.е.)				Показатели эффективности в зависимости от объема выделенных средств, Zi (x) i (у.е.)
	F1 (x)	F2 (x)	F3 (x)	F4 (x)	Z4*(x)	Z3*(x)	Z2*(x)	Z1*(x)
0	0	0	0	0	0	0	0	0
10	6	4	4	5	5	5	5	6
20	13	17	10	11	11	11	17	17
30	20	19	13	15	15	15	22	22
40	30	23	20	18	18	21	28	30
50	30	26	27	29	29	29	32	37

Объединённый показатель эффективности 3-х инвестиционных проектов – Z₂*(Q)= Произведем вычисления значений функции

Z₂* (10)=max{0+5;4+0}=5

Z₂* (20)=max{0+11;4+5;17+0}=17

Z₂* (30)=max{0+15;4+11;17+5;19+0}=22

Z₂* (40)=max{0+21;4+15;17+11;19+5;23+0}=28

Z₂* (50)=max{0+29;4+20:17+15;19+11;23+5;26+0}=32

Объединённый показатель эффективности 4-х инвестиционных проектов –

Z₁*(Q)=

Z₁*(10)=max {0+5;6+0}=6

Z₁* (20)=max{0+17;6+4;13+0}=17

Z₁* (30)=max{0+22;6+17;13+4;20+0}=22

Z₁*(40)=max{0+28;6+19;13+17;20+4;23+0}=30

Z₁* (50)=max{0+32;6+19:13+19;20+17;23+4;30+0}=37

В результате вычислений получили, что максимальное значение функции цели составляет Zmax = Z1*(50)=37

Таким образом, размер максимального дополнительного дохода от вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты составляет 37 у.е.

2. Определим оптимальное распределение средств финансовой компании, обеспечивающее ей максимальный дополнительный доход от инвестиций во все проекты.

Из табл. находим оптимальные планы распределения выделенных средств. Оптимальный план №1:

Z1*(50)=fi(0)+Z:*(50) =>x₁*=0

Z2*(50)=f₂(0)+Z3*(50) =>х₂*=0

Z3(50)=f₃(50)+Z₄(0)=>x₃=50

Z₄(0)=f₄(0) =>x₄=0

Оптимальный план №2:

Z1*(50)=fi(30)+Z:*(20) =>x₁*=30

Z2*(20)=f₂(20)+fZ3*(0) =>х₂*=20

Z3(0)=f₃(0)+Z₄(0)=>x₃=0

Z₄(0)=f₄(0) =>x₄=0

3. Дадим экономическую интерпретацию полученного решения. Согласно первому оптимальному распределению средств финансовой компании, обеспечивающему ей максимальный дополнительный доход от инвестиций во все проекты, равной 37 у.е., на реализацию третьего инвестиционного проекта необходимо выделить 50 млн. руб., а на реализацию первого, второго и четвертого – денежные средства выделять не следует.

Согласно второму оптимальному распределению средств финансовой компании, на реализацию первого инвестиционного проекта необходим выделить 30 млн. руб., на реализацию второго – 20 млн. руб., а на реализацию третьего и четвертого инвестиционных проектов денежные средства выделять не следует.

ЗАДАНИЕ 4

На производственном предприятии «ТИТАН» оборудование эксплуатируется в течение T = 5 лет, после чего продается (считается, что после T лет оборудование в результате морального износа не способно обеспечить выпуск конкурентоспособной продукции). В начале каждого года руководство предприятия принимает решение сохранить оборудование или заменить его новым аналогичным (при этом старое оборудование продается, а вырученные средства направляются на покрытие части стоимости нового оборудования). Первоначальная стоимость нового оборудования составляет

9000 тыс. руб., затраты на содержание оборудования – r(t) тыс. руб., и ликвидная стоимость оборудования – ϕ(t) тыс. руб.

Необходимо:

1. Определить минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию оборудования в течение рассматриваемого периода T .

2. Определить оптимальную стратегию (план-график) эксплуатации оборудования, обеспечивающую минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию в течение рассматриваемого периода T в условиях текущих цен.

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

Исходные данные задачи замены оборудования

t	0	1	2	3	4	5
r(t)	500	900	1000	1300	1600	-
ϕ(t)	-	7000	5000	4000	1000	500

Решение.

1. Определим минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию оборудования в течение 5 лет. Проведем на размеченном графе условную оптимизацию.

5 шаг. В состояниях (5, t ) оборудование продается, условный

оптимальный доход от продажи равен ликвидной стоимости ϕ(t), но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5, t ) ставим величину дохода со знаком «–».

4 шаг. Состояние (4,1).

900

9000+500-7000=2500

Е₄*(1)=min {900-5000 = -4100

{2500-7000

Таким образом, если система к последнему шагу находилась в точке (4,1), то следует идти в точку (5,2) (укажем это направление пунктирной линией).

Состояние (4,2).

1000

9000+500-5000=4500

Е₄*(2)=min {1000-4000 = -2500

{4500-7000

Состояние (4,3).

1300

9000+500-4000=5500

Е₄*(3)=min {1300-1000 = -1500

{5500-7000

Состояние (4,4).

1600

9000+500-1000=8500

Е₄*(4)=min {1600-500 = 1500

{8500-7000

3 шаг. Состояние

(3,1).

900

9000+500-7000=2500

Е₃*(1)=min {900-2500 = -1600

{2500-4100

В данном случае, находясь в точке (3,1), оптимально идти как в точку (4,2), так и в точку (4,1) (в обоих случаях затраты будут одинаковыми, возникает альтернативность решения).

Состояние (3,2).

1000

9000+500-5000=4500

Е₄*(2)=min {1000-1500 = 400

{4500-4100

Состояние (3,3).

1300

9000+500-4000=5500

Е₄*(3)=min {1300-1500 = 1400

{5500-4100

2 шаг. Состояние (2,1).

900

9000+500-7000=2500

Е₂*(1)=min {900-400 = -1200

{400-1600

Состояние (2,2).

1000

9000+500-5000=4500

Е₂*(2)=min {1000-1400 = 2900

{4500-1600

1 шаг. Состояние (1,1).

900

9000+500-7000=2500

Е₁*(1)=min {900-2900 = 400

{2500-2100

После проведения условной оптимизации в точке (0,0) получим минимальные затраты на эксплуатацию оборудования в течение 5 лет с

последующей продажей:

Е_min=p(0)+r(0)+Z₁*(1)=9000+500+400=9900 усл.ден.ед.

2. Определим оптимальную стратегию (план-график) эксплуатации оборудования, обеспечивающую минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию в течение 5 лет в условиях текущих цен.

Строим оптимальные траектории, перемещаясь из точки (0,0) по

пунктирным линиям в конечное состояние sˆ

Получаем следующие наборы точек, соответствующие управлениям:

(0,0); (1,1); (2,1); (3,2); (4,1); (5,2) − X*(X^C, Х³,Х^С,Х³,Х^С)

(0,0); (1,1); (2,2); (3,1); (4,1); (5,2) − X*(X^C, Х^С,Х³,Х³,Х^С)

(0,0); (1,1); (2,2); (3,1); (4,2); (5,1) − X*(X^C, Х^С,Х³,Х^С,Х³)

3. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

Согласно первой стратегии эксплуатации оборудования, обеспечивающей минимальные суммарные затраты производственного предприятия «ТИТАН» на эксплуатацию в течение 5 лет, его следует заменить в начале 2-ого и 4-ого года, согласно второй стратегии – в начале 3-его и 4-ого года, согласно третьей стратегии – в начале 3-его и 5-ого года.