Математика.ТР Определенные интегралы

Вариант №6

1. Вычислить определённые интегралы:

4

(1 + p

)3

¼=4

x

dx

dx;

R1

2

px

3)

cos2 xp1 + tg x;

1) R2

0

2) R0

2xp

dx;

4) R0 (x2 ¡ 6x)e¡xdx.

x2 + 1

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1)	y = cos x; y = 0; x = 0; x = ¼=2;					2) y = x2; y = 2 ¡ x; y = 0.
3. Вычислить двойные интегралы:
	RR	¡
1)		1	dxdy; D : f2 6 x 6 3; 1 6 y 6 2g;
	D	(x y)2
2)	RR	2ydxdy; D : fy = p
				x; y + x = 2; y = 0g;

D

3) R2 dx 6R¡x(x ¡ 2y)dy.

02x

4.Изменить порядок интегрирования:

p

p

2

2x

a

2a2¡y2

1) R1

dxp

2xR¡x2

f(x; y)dy;

2)

R

dy

R

f(x; y)dx;

0

p

ay

x2

p

p

1

2

2¡x2

3) R0

dx R0

f(x; y)dy + R1

dx

R0

f(x; y)dy.

5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fy = 4 ¡ x2; y = 1 ¡ x2 g; б) F : fy > x ¡ 4; y 6 2; y > 0; x + y > 2g;

в) F : fx 6 2; y2 6 (x + 2)3g.

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

б)	RR xdxdy; D : fx2 ¡ 2x + y2 = 0; x2 ¡ 6x + y2 = 0; y = x; y = 0g.
а)	f(x; y)dxdy; D : fy2 ¡ 2y + x2 = 0; y2 ¡ 10y + x2 = 0; y = x; y = p	3	xg;

D

RR

D

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) x + y + z = 3; x = 0; y = 0; z = 0;

б) z = xy; y = x2; x2 = 2y; z = 0; y2 = x; y2 = 2x; в) x2 + y2 = z; z > 0; y2 + x2 = x.

11

8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: x2=3 + y2=3 = a2=3; (x; y > 0).

9.Найти момент инерции Ix для однородной пластины: x = a; y = b; x = 0; y = 0; (a; b > 0); ½(x; y) = xy.

10.Найти длину дуги следующих кривых:

а) y = x2 ; 0 6 x 6 1;

2

б) x = 3 cos (t ¡ 1); y = 3 sin (1 ¡ t); 0 6 t 6 1.

11. Вычислить криволинейные интегралы:

а) R xdy ¡ ydx; L – дуга астроиды:fx = a cos3 t; y = a sin3 t; 0 6 t 6 2¼g;

L

б) R (x2 ¡ 2xy)dx + (y2 ¡ 2xy)dy; L : fy = x2; ¡1 6 x 6 1g.

L

12. С помощью тройного интеграла найти:

а) найти объём тела, ограниченного поверхностями: fx2 + z2 = a2; y = 0; z = 0; y = xg; б) найти массу прямоугольного параллелепипеда:

0 6 x 6 a; 0 6 y 6 b; 0 6 z 6 c; ½(x; y; )(x; y; z) = k(x + y + z).

12

							Вариант №7
1. Вычислить определённые интегралы:								R
	R	ex µ1 +				¶dx;
	¼=4				e¡x			1=2
1)	0				cos2 x		3)	0	arccos xdx;
	R							0		¡
	¼=3 cos x							1
2)				dx;			4)	R	(4 x)e¡3xdx.
	¼=4		esin x

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1)

x2

; y = x;

2) y = cos x; y = 0; x =

¼

; x =

¼

.

y =

4

4

2

3. Вычислить двойные интегралы:

1)

RR

(6xy ¡ 12x3y3)dxdy;

D : fx = 1; y = x2; y = ¡p

g;

x

D

x2

2)

RR

D : fy = p

D

2ydxdy;

x; y + x = 2; y = 0g;

3)

RR

dxdy;

D : fxy = 1; y = x; x = 4g.

D

y2

4. Изменить порядок интегрирования:

2

4

p

1

y

2

1

1)

¡Ra1

dx

f(x; y)dy;

R

R

R

R

3) dy

f(x; y)dx +

dy

f(x; y)dx.

3

xR1

0

0

1

ln y

2)

R dx R

f(x; y)dy;

0ln x

5.Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fx2 + 9y2 = 9; x 6 0; y 6 0g;	в) F : fy = x; y = 2x; x + y = 6g.
б) F : fy2 = 4x; x = 3g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

б)	RR e¡x2¡y2 dxdy;	D : fx2	+ y2	6 100; x 6 0g.
а)	f(x; y)dxdy;	D : fx2	+ y2	= 4x; y2 + x2 = 8x; x = y; 2x = yg;

D

RR

D

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) z = 1 + x + y; z = 0; x + y = 1; x = 0; y = 0;

б) z = 4 ¡ x2 ¡ y2; z = 0; x = 1; x = ¡1; y = 1; y = ¡1;

в) y2 = x ¡ 3; y = 1; x + 2z = 18; z > 0.

13

8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: x2 + y2 = 9 – верхняя половина круга.

9.Найти момент инерции I для эллипса:

x2 + y2 = 1. a2 b2

10. Найти длину дуги следующих кривых:

а) x = cos4 t; y = sin4 t; 0 6 t 6 2¼;

б) r = a(1 + cos ') – кардиоида.

11. Вычислить криволинейные интегралы:

а)	R			L от A(1; 0) до B(0; 2) по 4x + y2 = 4;
	(xy ¡ 1)dx + 2xydy;
	L
б)	R
	2ydx + xdy; L – ломаная OAB : O(0; 0); A(0; 3); B(2; 6).
	L
12. Тройные интегралы:
а)	RRR p			D : fx2 + y2 = z; z = 4g;
	x2 + y2zdxdydz;

D

б) найти объём тела, ограниченного поверхностями: z = 1 ¡ y2; z = 0; x = y; x = 0.

14

Вариант №8

1. Вычислить определённые интегралы:

	e2 dx					1		xdx
1)					;	3) R0			;
							x2 + 6
	0		x ln x
	0			¡		R
	R					¼=3		7dx
	1
2)	R				3x)e¡xdx;	4)				.
		(x2						sin2 2x
						¼=6

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) xy = 4; y = 0; x = 1; x = 4;

2

1

; x = ¡2; x = 2.

2) y = x

; y =

4x2

3. Вычислить двойные интегралы:

2)

RR

(x ¡ y)dxdy;

D : f2 ¡ x2

= y; y = x; x > 0g;

1)

D

ex+y+1dxdy;

D : fxy = 4; y = x; x = 4g;

3)

RR

2xdxdy; D : fy2 = 4 + x; 3y + x = 0g.

D

RR

D

4. Изменить порядок интегрирования:

2

y

p

p

1

x

2

2¡x2

1)

dy f(x; y)dx;

R

R

R

R

3)

dx

f(x; y)dy + dx

f(x; y)dy.

1

=y

0

0

1

0

R

1R

2)R2 dy 2R¡y f(x; y)dx;

1 0

5.Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fy = 2x ¡ x2; y = ¡xg;	в) F : fy = p
		x; y + x = 2; y = 0g.
б) F : fx + y > 2; x ¡ y 6 4; y > 0; y 6 2g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

а) R2 dy pR3xf(x; y)dx;

1x

б)	R			R
	2 dx p4¡x2 ex2+y2 dy.
	0	p
					2
		1¡x

7. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) z = xy; z = 0; x + y + z = 1;

б) y = x2; y = 1; z = x2 + y2; z = 0; в) z = 0; z = 4 ¡ y2; y = x2=2.

15

8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: y = 2x ¡ x2; y = 0; ½(x; y; z)(x; y) = c.

9.Найти момент инерции Ix для однородной пластины: x = a; y = b; x = 0; y = 0; (a; b > 0); ½(x; y) = ½(x; y)0.

10.Найти длину дуги следующих кривых:

	¼				6 x 6	¼	;
а) y = ¡ ln j cos xj;
			4			3
б) x = 3t2; y = 3t ¡ t3; 0 6 t 6 1.
11. Вычислить криволинейные интегралы:
а)	xdy ¡ ydx; L : fx = 2(t ¡ sin t); y = 2(1 ¡ cos t); 0 6 t 6 2¼g;
	L
	R						L : fy = x4g от точки (1; 1) до (¡1; 1).
б) R (4x + y)dx + (x + 4y)dy;
	L
12. Тройные интегралы:
а)	RRR p						D : fx2 ¡ y2 + z2 = xg;
	x2 + y2 + z2dxdydz;

D

б) найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями:

2z = x2 + 4x + y2 ¡ 2y + 5; z = 2; ½(x; y) = ½0.

16

					Вариант №9
1. Вычислить определённые интегралы:
4	+ x)2					1
1) R1	(1xp			dx;	3)	R0 (x2 ¡ 8x)e¡xdx;
		x
						p
3	x						3
2) R1						R0
			dx;		4)			arctg xdx.
	x2 + 1

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) y = e1¡x; y = 0; x = 0; x = 1;			2) y2 = x; y2 = 4x; x = 2.
3. Вычислить двойные интегралы:			= xg;
2)	RR (x2 + y)dxdy;	D : fy = x2; y2
1)	sin (x + y)dxdy;	D : fx = 0; y = x; y = ¼g;

D

RR

D

3)R2 dy lnRy exdx.

1 0

4.Изменить порядок интегрирования:

R	pR2 y				R0	R0	R1	R0
1	1+x		f(x; y)dy;		1	1	2	2¡y
1)	dx				3)	dy f(x; y)dx +	dy	f(x; y)dx.
0	0
1		¡
2) R0	dy pRy			f(x; y)dx;
5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:
а) F : fy = 4x ¡ 4; y = 8 ¡ x2g;					в) F : fy + x 6 4; y2 ¡ 6y = 4x ¡ 1g.
б) F : fy > 0; y 6 1; y + x > ¡2; y ¡ x > 1g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

RR		y			x			; y = 0g;
а)	f(x; y)dxdy;			D : fx2 ¡ 2x + y2 = 0; x2 ¡ 4x + y2	= 0; y = p
D					3
RR				D : f¡x2 + y2 6 2yg.
б)	arctg	x	dxdy;
D

7. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) z = 1 + x + y; z = 0; x + y = 1; x = 0; y = 0;

б) 2x + 3y ¡ 12 = 0; z = y2 ; p 2

в) z = sin x2 + y2; z = 0; x2 + y2 = ¼2.

17

8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: y = 2x3; y2 = 2x.

9.Найти момент инерции Iy для однородной пластины: x = a; y = b; x = 0; y = 0; (a; b > 0); ½(x; y) = ½0.

10.Найти длину дуги следующих кривых:

						a2
а) y = a ln								; 0 6 x 6 b < a;
					a2 ¡ x2
б) x =			c2						c2		sin3 t; 0 6 t 6 ¼; c2 = a2 ¡ b2 (эволюта эллипса).
				cos3 t; y =
			a						b
11. Вычислить криволинейные интегралы:
а) L		xdx				¡	ydy				; L ¡ дуга окружности с центром в начале координат (R = 1);
		x2 + y2					x2 + y2
R	2xydx + x2dy;								L ¡ соединяет точки A(0; 0) и B(1; 1) по прямым, через точку C(1; 0).
б) R

L

12. Тройные интегралы:

а) RRR (x + y + z)dxdydz; D : fx + y + z = 1; x = 0; y = 0; z = 0g;

D

б) вычислить момент инерции для фигуры, ограниченной поверхностями: xa + yb + zc = 1; x = 0; y = 0; z = 0; ½(x; y; z) = 1.

18

						Вариант №10
1. Вычислить определённые интегралы:							e2 p1 + ln x
3		x ¡ 6 dx
1) R0				;		3)	R				dx;
		x2 + 9
							0			x
3	xp						¼=2
2) R2					dx;	4)	R0		e2x sin xdx.
			x2 ¡ 1

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) y = 7 ¡ x; xy = 6;

2) x = 2 ¡ y2; y = x; x = 0.

3. Вычислить двойные интегралы:

2)

RR (x ¡ 3y2)dxdy;

D : fy3 = x; y = 2; x = 0g;

1)

(x ¡ y)dxdy;

D : fy = 3x2; y = 4 ¡ x2g;

D

3)

RR exdxdy; D : fy = 1; y = 2; x = ln y; x = 0g.

D

RR

D

4. Изменить порядок интегрирования:

2 2¡x

p

0

1¡x2

1) ¡R6 dx

x2R 1 f(x; y)dy;

R

R

f(x; y)dy;

2) ¡1 dx

x+1

4 ¡

1

p

y

2

p

2¡y

3) R0

dy

R0

f(x; y)dx + R1

dy

R0

f(x; y)dx.

5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fy = 2 ¡ x2; y = x2; x > 0g;

в) F : fy > 2 ¡ x; y > x ¡ 4; 0 6 y 6 2g.

б) F : fy = ¡2p

x; y = 0; y = x ¡ 8g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

RR		y		D : fx2 + y2 = 4y; (y ¡ 1)2 + x2 = 1g;
а)	f(x; y)dxdy;
D
RR				D : f¡x2 + y2 6 xg.
б)	arctg	x	dxdy;
D

7. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) x6 + y3 + z2 = 1; x = 0; y = 0; z = 0;

б) x2 + y2 + z2 = 16; x > 0; y > 0; z > 0;

в) y2 = x ¡ 3; y = 1; x + 2z = 18; z > 0.

19

8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями:

3y = x2; y = 3; ½(x; y) = x2 + 1.

9.Найти момент инерции Iy для однородной пластины: x = 2; y = x2; y = 0; ½(x; y) = x + y.

10.Найти длину дуги следующих кривых:

а) y = x2 ; 0 6 x 6 1;

2

б) x = 12(t ¡ sin t); y = 12(1 ¡ cos t); 0 6 t 6 ¼.

11. Вычислить криволинейные интегралы:

а) 2xydx + x2dy;	L ¡ кривая y = x3 от точки (0; 0) до (1; 1);
L
R	L ¡ верхняя половина эллипса fx = a cos t; y = b sin tg.
б) R y2dx + x2dy;
L

12. Тройные интегралы:

а) найти объём тела, ограниченного поверхностями: z = 1 ¡ y2; x = 0; y = x; z = 0;

б) найти момент инерции однородной пирамиды, ограниченной координатными плоскостями и плоскостью 3x + 3y + 2z = 6, относительно оси Oy.

20