Математика.ТР Определенные интегралы

					Вариант №16
1. Вычислить определённые интегралы:
	R					e
					3) R1
	¼=2		sin xdx
							px ln xdx;
1)		p		;
	0		1 + 2 cos x
2)	R				4)	e			x
	¼=3sin3 x cos xdx;					e2	(ln x)4dx.
						R

¼=4

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) y = xex; y = 0; x = 1;		2) y = x2; y = x2=4; x = ¡2; x = 2.
3. Вычислить двойные интегралы:
1)	RR
	x2dxdy; D : fy = x2; x = 0; y = 2 ¡ x2g;
	D
2)	RR
	(x ¡ y)dxdy; D : fxy = 4; y = 5 ¡ xg;

D

3)R2 dy lnRxexdx.

1 0

4.Изменить порядок интегрирования:

	p				p			1=x
1		2x¡x2		1		x	4
R0		R2		R	1R=4		R	1R=4
1) dx			f(x; y)dy;	3)	dx		f(x; y)dy +	dx f(x; y)dy.
		x		0			1
0		y
2) ¡R1 dy¡2Ry¡1 f(x; y)dx;
5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:
а) F : fy = ¡x2 + 8; y = ¡2xg;				в) F : fy = cos x; y = 0; ¡¼=2 6 x 6 ¼=2g.
б) F : fy2 = x; y = x ¡ 2; 0 6 x 6 1g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

а) RR f(x; y)dxdy; D : fx2 ¡ 2x + y2 = 0; x2 ¡ 4x + y2 = 0; y = x=p3; y = p3xg;

D

б) R2 dx pRR2¡x2 ln (1 + x2 + y2)dy.

00

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) z = x2 + y2; x = 0; y = 0; z = 0; x + y = 1;

б) x + y + z = 6; z = 0; x2 + y2 = 4;

в) x2 + y2 = 2z; z = 2.

31

8.Найти координаты центра тяжести пластины: y = x2 ¡ 1; y = x + 1; ½(x; y) = 2y + 1.

9.Найти момент инерции Ix:

y= px; y = 2px; x = 1; ½(x; y) = x + y.

10.Найти длину дуги следующих кривых:

а) y = ln x; x = p3; x = p8;

б) x = cos3 t; y = sin3 t.

11. Вычислить криволинейные интегралы:

а)	R
	xydx + (y ¡ 2x)dy; L ¡ вдоль кривой y2 = x от точки A(0; 0) до B(1; 1);
	L
б)	R
	2ydx + xdy; L ¡ ломаная OAB : O(0; 0); A(0; 3) B(1; 1).
	L

12. Тройные интегралы:

а) найти объем тела, ограниченного поверхностями:

z = 9 ¡ y2; 3x + 4y = 12; y > 0; x = 0; y = 0; z = 0;

б) найти массу тела:

1 6 x2 + y2 + z2 6 9; ½(x; y) = 2(x2 + y2 + z2).

32

								Вариант №17
1. Вычислить определённые интегралы:									R
	R
	¼=4	x			x		2		¼=3
1)	0	³cos	2	¡ sin	2	´	;	3)	0	tg2 xdx;
	R								0		¡
	¼=2								R
2)		ex ln x cos xdx;						4)	1	(x 7) sin xdx.

¼=4

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) y = ¡x2 ¡ 2x; y = x;

2) y = ¡p

x; y = x ¡ 2; y 6 0.

3. Вычислить двойные интегралы:

RR x

dxdy

1)

D

; D : f0 6 x 6 1; 0 6 y 6 2g;

(x + y + 1)2

2)

RR

dxdy; D : fy = x2; x = y2g;

D

y

3)

RR

D

cos (x + y)dxdy; D : fx = 0; y = x; y = ¼g.

4. Изменить порядок интегрирования:

R

¡R

R

¡ R2¡y

R

R

2

1

2¡x

1

0

2

0

1)

0

dx

x

f(x; y)dy;

3)

0

dy

p

f(x; y)dx +

1

dy

p

f(x; y)dx.

y

1

¡x

2) ¡R1 dx¡p

2R¡x2

f(x; y)dy;

5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fy = 4 ¡ x2; y = 5x ¡ 2g;

в) F : fy = x2 ¡ 2x; y = x=2g.

б) F : fy = 8=x; y = 6 ¡ xg;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

а) RR f(x; y)dxdy; D : fy2 ¡ 4y + x2 = 0; y2 ¡ 6y + x2 = 0; y = x; x = 0g;

D

б) 2RR dy pRR2¡x2 dx.

R=2 0

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) x + y + 3z = 3; x = 0; y = 0; z = 0;

б) y = x2; x + z = 4; z = 0; y + x2 = 2; в) x2 + y2 = 4; z = y; z = 2y; z > 0.

33

8.Найти координаты центра тяжести пластины: x2 + y2 = 4; y > 0; x > 0.

9.Найти момент инерции Ix:

x + y = 1; x = 0; y = 0; ½(x; y) = y + 1=7.

10.Найти длину дуги следующих кривых:

r

а) y = x ¡ 12 x; 0 6 x 6 4;

34

б) x = 4 cos3 t; y = 4 sin3 t; 0 6 t 6 ¼=4.

11. Вычислить криволинейные интегралы:

а)	xdy ¡ ydx; L ¡ дуга эллипса: x = 2 cos t; y = 3 sin t; 0 6 t 6 ¼=2;
L
R	6xy3dx + xydy; L ¡ отрезок от (0; 0) до (2; 4).
б) R
L

12. Тройные интегралы:

а) найти момент инерции однородной пирамиды, ограниченной координатными плоскостями и плоскостью 3x + 3y + 2z = 6, относительно оси Oy;

б) найти объем тела, ограниченного поверхностями: x = 0; y = x; z = 0; z = 1 ¡ y2.

34

Вариант №18

1. Вычислить определённые интегралы:

1

125 ¡ x

dx

1

exdx

1) R0

;

3) R0 (ex ¡ 5)3

;

p3 x ¡ 5

3

xp

0;5

2) R2

dx;

4) R0

arccos xdx.

x2 ¡ 1

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1)

y = sin ¼x=2; y = x2;

2) xy = 4; y = 0; x = 1; x = 4.

3. Вычислить двойные интегралы:

2)

RR ydxdy;

D : fy = 9 ¡ x2; y = 9 ¡ 3xg;

1)

(x ¡ 3y2)dxdy;

D : fx = y3

; y = 3; x = 0g;

D

RR

D

3)

RR

D : fy = ¼=2; y = ¼; x = 1; x = 2g.

y cos (xy)dxdy;

D

4. Изменить порядок интегрирования:

1 x

2

2¡x

x2

p

1

2

2 x2

1) R00 dx R0

f

x; y dy

dx

f x; y

dy

R

R

R

R

¡

0 (

) + R1

R0

(

)

;

3)

0

dx 0

f(x; y)dy + 1

dx

0

f(x; y)dy.

2) ¡R1 dyy2R¡4 f(x; y)dx;

5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : f4y = x2; y = x2; x = 2; x = ¡2g; б) F : fy = 4px; x = 0; y = 12 ¡ xg;

в) F : fy ¡ 2x 6 0; 2y ¡ x > 0; xy 6 2g.

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

б)	RR xy2dxdy; D : fy2 + x2 = 4y; x2	+ (y ¡ 1)2 = 1g.
а)	f(x; y)dxdy; D : fy2 ¡ 6x + x2	6 0; y2 ¡ 6y + x2 6 0g;

D

RR

D

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) x2 + y2 = z; y = x2; y = 1; z = 0;

б) y2 = x ¡ 3; y = 1; z > 0; x + 2z = 18;

в) x2 + y2 ¡ 9 = z; z 6 0.

35

8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: y 6 sin x; y > 0; 0 6 x 6 ¼=2; ½(x; y) = sin x.

9.Найти момент инерции Iy для однородной пластины: x = 2; y = x2; y = 0; ½(x; y) = y + x.

10.Найти длину дуги следующих кривых:

а) y = ln sin x; ¼=3 6 x 6 ¼=2;

б) x = 2 cos3 t; y = 2 sin3 t; 0 6 t 6 2¼.

11. Вычислить криволинейные интегралы:

а)	R	L ¡ кривая y = 2x2 (0; 0) до (1; 2);
	2ydy + xdx;
	L
	R
б)	x2dx + dy;	L ¡ дуга y = px3 от x = 1 до x = 4.
	L

12. Тройные интегралы:

а) найти объем тела, ограниченного поверхностями: y = 2px; x + z = 6; z = 0; y = px;

б) найти момент инерции однородной пирамиды, ограниченной координатными плоскостями и плоскостью 3x + 3y + 6z = 6, относительно оси Oy.

36

								Вариант №19
1. Вычислить определённые интегралы:
	2		3p		)2				1
				x
1)	R1	(4 ¡					dx;	3)	R0	x cos2 xdx;
			x
	3	x2p							¼=3
2)	R2					dx;		4)	R0	ecos x sin xdx.
			x3 ¡ 8

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) x = 8 ¡ y2; x = ¡2y; y > 0;

2) y = ¡p

x; y = ¡x2.

3. Вычислить двойные интегралы:

; x = 0g;

2)

RR (x + y2)dxdy; D : fy = x2; y = 2 ¡ x2

1)

y

D : fx = y; y = 2x; x = 2; x = 4g;

D

x

dxdy;

3)

RR

2xdxdy;

D : fy = ¡x2; y = x ¡ 2g.

D

RR

D

4. Изменить порядок интегрирования:

p

p

4=x

1

2¡x2

2

2x

4

1)

R0

R

f(x; y)dy;

1R=2

R

R

R

dx

3)

dx f(x; y)dy +

dx

f(x; y)dy.

x

1

2

2

2) R1 dy 3¡R2y f(x; y)dx;

¡1 y2

5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fy 6 3 ¡ 4x ¡ x2; 3x ¡ 2y + 18 6 0g;	в) F : fxy = 4; y = 5 ¡ xg.
б) F : fy 6 15 + 2x ¡ x2; y > 0g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

RR	f(x; y)dxdy;					D : fy2 ¡ 4x + x2 = 0; y2 ¡ 8x + x2 = 0; y = 0; y = xg;
а)
D			+
RR p
б)		dxdy			;	D : fy2 + x2 = 1g - 1-я четверть круга.
D		x		y

7. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) 4x = y2; x + 4z = 16; z = 0;

б) x + y + z = 6; x2 + y2 = 1; z = 0;

в) y = 3 ¡ x2 ¡ z2; y = 0.

37

8.Найти координаты центра тяжести пластины: y > x; x > y2 ¡ 2y; ½(x; y) = x + y.

9.Найти момент инерции Ix плоской фигуры:

y= 1=x; y = 2 ¡ x; ½(x; y) = y2.

10.Найти длину дуги следующих кривых:

	3						p
а) y = px; от O(0; 0)						до A(5; 5 5);
б) x = 4 sin t + 6 cos t; y = 6 sin t ¡ 4 cos t; 0 6 t 6 ¼=2.
11. Вычислить криволинейные интегралы:
а) (x + 4y)dy + (4x + y)dx;							L ¡ кривая y = x4 (1; 1) до (¡1; 1);
	L
	R						L ¡ отрезок прямой от M(3; 2; 1) до O(0; 0; 0).
б) R x3dx + 3xy2dy ¡ x2dz;
	L
12. Тройные интегралы:
а)	RRR p					D : fy2 + x2 = z; z = 4g;
		x2 + y2dxdy;

D

б) найти момент инерции относительно координатных плоскостей однородного тела, ограниченного поверхностями:

z = 4 ¡ x2 ¡ y2; z = 1; x > 0; y > 0; ½(x; y; z) = c.

38

Вариант №20

1. Вычислить определённые интегралы:

2

(px

1)3

¼=2 cos xdx

1) R1

R

xp¡x

dx;

3)

p3

;

¼=6

sin x

p

x arctg x

1

3

3

2) R0

x2e¡x

dx;

4)

R1

p

dx.

1 + x2

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1)	y = cos x; y = sin x; x = 0;					2) y = x2; y = 4.
3. Вычислить двойные интегралы:						; x > 0g;
2)	RR	2xydxdy;			D : fy = 4 ¡ x2; y = 0; y = 3x2
1)	D	(x2 + y2)dxdy; D : f1 6 x 6 2; y = x; y = 2xg;
	RR		y
	D
3)	RR			dxdy;	D : fy = 2 ¡ x2; y = xg.
	D		x2

4. Изменить порядок интегрирования:

	1=2					¡1			p
			cos x							2¡x2
1)	R	dx	R	f(x; y)dy;	3)	¡R	2			R
	0		0			p			0

2)R2 dx R0 f(x; y)dy;

1 ¡p2¡x

5.Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

R0 dx Rx2 f(x; y)dy.

¡1 0

а) F : fy = (x ¡ 1)2; y2 = x ¡ 1g;	в) F : fy = x2; y = 2 ¡ x; x = 0g.
б) F : fy = 3=x; y = 4ex; y = 3; y = 4g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

RR
а)	f(x; y)dxdy; D : fy2 ¡ 8y + x2 = 0; y2 ¡ 10y + x2 = 0; y = p3x; y = xg;
D	p
RR
б)	sin x2 + y2dxdy; D : f¼2 6 y2 + x2 6 4¼2g.
D

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) z = x; z = 2x; x2 + y2 = 9x; б) z = 2 ¡ x; x = 1; z = 0; y2 = x;

в) y2 + x2 = z; z = 0; y = x2; y = 1.

39

8. Найти координаты центра тяжести пластины:

x2 + y2 = 1; x 6 0; y > 0; ½(x; y) = 3.

9

9.Найти момент инерции Iy пластины: x2 + y2 = 9; x > 0; ½(x; y) = x2 + y2.

10.Найти длину дуги следующих кривых:

а) y = ¡ ln cos 2x; ¼=8 6 x 6 ¼=6;

б) найти массу кривой: x = t ¡ 1=2 sin 2t; y = 1=2(1 ¡ cos 2t); ½(x; y) = t.

11. Вычислить криволинейные интегралы:

а)	R		2	2	¡ xy)dx ¡ xdy;	L ¡ прямая y = 6 ¡ x от A(3; 3) до B(4; 2);
	L	(x2		+ y2
б)	R	(x		+ y ¡ xy)dy + ydx;		L ¡ окружность x = cos t; y = sin t;
	L

пробегающая против часовой стрелки.

12. Тройные интегралы:

а) найти момент инерции однородной пирамиды, ограниченной координатными плоскостями и плоскостью ¡3x + 3y ¡ 2z = 6, относительно оси Oy;

б) абсциссу центра тяжести тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 + z2 = 100; x2 + y2 = 10x; ½(x; y) = x2 + y2.

40