UMLE6-106_F

91

2 в одинаковые эллипсы m1 и m2. Большими осями эллипсов являются на

1 – 3141, на 2 – 1222. Для построения этих эллипсов на рис.	116 показаны
дополнительные точки 11 и 21 , симметричные точкам 11 и 21	относительно

3141, и точки 32и 42 , симметричные точкам 32 и 42 относительно 1222. Контуром падающей тени сферы является тень от контура m ее собст-

венной тени. Если тень сферы упадет полностью на одну из плоскостей проекций (как на рис. 116), то контуром этой тени будет эллипс, если же на две, то контуром тени будут две дуги эллипсов, пересекающихся на оси х. Для построения падающей тени сферы через точки 1, 2, 3, 4 и ее центр О проведем световые лучи и найдем тени всех перечисленных точек на плос-

кости проекций (в данном случае на			1). На рис. 116 этими тенями явля-
ются точки 11	, 21	, 31 , 41 и О1 . Точка О1		– центр эллипса падающей те-
ни, отрезок 31	41	– его малая ось, а точки 11		, 21 и симметричные им 51 и
61 принадлежат контуру эллипса. Чтобы найти большую ось 71					81	эллип-
са, рассечем сферу двумя плоскостями			и	, параллельными	1	и каса-

тельными к контуру m собственной тени. Построим тени от полученных окружностей. Точки 71 и 81 пересечения этих теней с направлением большой оси эллипса определяют длину этой оси. Соединив плавной кривой точки 11 , 31 , 61 , 71 , 21…, получим эллипс, являющийся контуром падающей тени сферы.

§ 33. ТЕНИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ

Тени от точек, линий и других геометрических фигур, находящихся в пространстве, могут падать только на освещенные части заданных поверхностей.

Основной задачей построения теней, падающих от геометрических фигур на поверхность, является задача отыскания тени от точки, так как тени от отрезков прямых и кривых линий, а также от геометрических тел могут быть построены по теням от принадлежащих им точек. Тенью, па-

дающей от точки на поверхность, является ближайшая точка пересечения с этой поверхностью светового луча, проходящего через данную точку. Тенью отрезка прямой на любую поверхность является линия пересечения лучевой плоскости с освещенной частью поверхности.

Для построения теней, падающих на поверхность геометрического тела от точек, линий и других геометрических фигур, чаще всего применяют два способа: способ лучевых сечений и способ обратных лучей. Рассмотрим приложение каждого из них на примерах.

А) Способ лучевых сечений. ПРИМЕР 44. Пусть требуется найти тень, падающую от точки М на поверхность пирамиды ABCDS. Собственная и падающая тени пирамиды построены (рис. 117).

92

		a2	S2
		M2
			22
		M 2o	32
		12	N2o
			S 2o
x	B2	A	C
		2	2
			S 1o

C1

	B1	No	3
		1	1

M1o 21

S1

A1 11

a1 M1

1

Рис. 117

Решение. Через точку М проведем световой луч а и найдем точку его встречи с поверхностью пирамиды*. На рис. 117 найдены фронтальные проекции М2и N2двух точек Ми N(входа и выхода луча), но представляет интерес проекция только одной из них – точки М , ближайшей к точке М, так как в действительности луч, встретив поверхность, не проницает ее. Горизонтальную проекцию М1этой точки найдем на а1 с помощью линии связи. Точка М и есть искомая тень точки М.

ПРИМЕР 45. Построить тень от отрезка KL на поверхности конуса с вершиной S и основанием m (рис. 118). Собственная и падающая тени конуса построены.

Решение. Через заданный отрезок KL нужно провести лучевую плоскость и найти линию ее пересечения с поверхностью конуса. Эта линия и будет искомой тенью. На рис. 118 лучевая плоскость задана четырехугольником KLL K . Построение указанной линии пересечения можно произвести одним из двух приемов: 1) на отрезке KL взять несколько произволь-

* См. § 23, примеры 30 и 31, рис. 86 и 87.

93

			S2						S2
		L2					L2
Q2
		32						32
K2		42	22			K2	42		22
K2o		1		Lo	S2o	K2o	m
		2		2				2
D		C	R	B			1	C	B
	2		2
		2		2	S1o		2	2	2
		A1					A1
o	1					o	1
K1	1		R1			K1	1		o
									41
				L1o					3o	2o
K						K			1	1
1			S1			1
D1		41					41	3
			21	B1				1	21	B1
		31					m
							1
		C						C
								1
		1
		Q1
		L1					P		L1
							1
1
			а)						б)

L2o S2o

S1o

L1o

Рис. 118

ных точек М, N …, провести через них световые лучи и найти точки М , N … – встречи этих лучей с поверхностью конуса, после чего соединить их плавной кривой (на рисунке не показано) или 2) на освещенной части поверхности провести несколько произвольных образующих BS, CS, DS … и найти точки 2, 3, 4 … их пересечения с лучевой плоскостью. Воспользуемся вторым приемом, так как в данном случае он требует более простых построений.

На рис. 118а показано построение точки 3 – пересечения образующей CS с лучевой плоскостью. Эта образующая заключена в плоскость 1, найдена прямая QR = KLL Kи точка 3 = CS QR. Аналогично найдены точки 2 и 4. На рисунке показаны их проекции. Эти точки принадлежат искомой тени. Для построения ее проекций следует провести плавные

кривые через точки 21, 31, 41, 11 и 22, 32, 42 , 12*.

Б) Способ обратных лучей. ПРИМЕР 46. Решить задачу, рассмотренную в примере 45, применив метод обратного луча (рис. 118б).

Решение. Построим, не учитывая наличие конуса, тень K1 L1 отрезка

94

	* Точка 12 – невидимая.
KL, падающую на		1, и найдем точки 11 и 21 – пересечения этой тени с
контуром падающей тени S1 A1m1B1 конуса. Точка 11 = K1 L1				m1. Дуга
m1	входит в контур тени, падающей от конуса, и в то же время является
проекцией дуги основания, которое в данном случае лежит в пл.				1. Сле-
довательно, найденная точка 11, принадлежащая одновременно тени от KL
на	1 и контуру основания конуса, будет являться тенью от KL на этот
контур. Точка 21		= K1 L1	B1S1 . Отрезок B1S1 – тень образующей BS

конуса. Следовательно, точка 21	является одновременно тенью на 1 не-
которой точки P KL и точки 2	BS. Точки Р и 2 лежат на одном свето-

вом луче Р21 . Этот луч, идя в прямом направлении, т.е. от источника света, пройдет через точку Р и встретит вначале поверхность конуса в точке 2,

а затем – 1 в точке 21	. Точка 2 будет тенью от Р на поверхности конуса.
Чтобы найти эту тень,	нужно из точки 21 провести обратный луч. Точку 2
найдем в пересечении обратного луча с образующей BS. Отыскание точки

Р не имеет практического смысла. Для построения следующей точки 3

CS, найдем точку 31 = C1S1	K1 L1 и через нее проведем горизонталь-
ную проекцию обратного луча до точки 31 = 31 31 C1S1. Фронтальная

проекция 32 C2S2. Аналогично построена точка 4. Проведя через найденные точки 21, 31, 41, 11 и 22, 32, 42 плавные кривые, получим видимые проекции искомой тени от отрезка KL на поверхности конуса.

ПРИМЕР 47. Даны две пересекающиеся фигуры: пирамида ABCS и призма DEFKLM. Линии пересечения 123 и 45678 поверхностей этих фигур построены и на эпюре показаны видимые участки этих линий (рис. 119). Требуется найти собственные и падающие тени заданных фигур.

Решение. Построение теней каждой из заданных фигур произведем вначале независимо друг от друга. Чтобы найти тени пирамиды, нужно по-

строить тень S1o от ее вершины S на 1. Соединив точки S1o , В1 и С1, получим падающую тень пирамиды. В собственной тени будет грань BCS. Для построения тени призмы найдем тени K1 , L1 , M1 от вершин K, L и M верхнего основания на 1. Соединив точки D1, K1 , L1 , М1и F1, получим тень призмы, падающую на 1. В собственной тени находятся грани DELK и EFML. В действительности, часть теней от пирамиды падает на поверхность призмы, а от призмы – на поверхность пирамиды. Тень Sот вершины S пирамиды, падающую на грань DFMK, построим способом сечений:

луч S S o заключим в плоскость , отметим точки 9 и 10 пересечения этой плоскостью ребер FM и DK. Соединим прямой фронтальные проекции 92 и

102 этих точек. Фронтальная проекция искомой тени S2				= S2		2o	92102, а
					S
горизонтальная проекция S1	S1		1o . Соединив точки S1	, 21 и 31, получим
		S

95

горизонтальную проекцию тени от пирамиды на поверхности призмы. Фронтальная проекция той же тени ограничена треугольником S2 2232.

S2

K2 M2				L2

			102
			22	S o
				2
			32
		9	7
			2
		12
		2
			Qo		62
			2
								S o	K o	M o	L2o
								2	2	2
D 2	F A		82 E H2		C	2	B	2
	2	2		2

				B1	P1o	K1o
				G1
D		41	E1		o	L1o
1	A1				S1
			Po	61
	11		1
		51	H			M o
			1	Q1o		1
F	21		101
1			S1o	C
				1
	91		Q o
		31	1	K1
						L1

S1

M1

Рис. 119

Тень D1K1на 1 от ребра DK призмы пересекает в точке G ребро АВ основания пирамиды. В указанной точке тень переломится и упадет на грань АВS пирамиды. Чтобы найти вторую точку (Р ), через которую пройдет эта тень, воспользуемся способом обратных лучей: через точку

		o	= D1К1	B1		o	проведем горизонтальную проекцию обратного луча
	P				S
1				1

до пересечения с B1S1 в точке Р1 . Точки G1 и Р1соединим прямой и полу-

96

чим горизонтальную проекцию G1P1 5141G1 контура тени, падающей от призмы на грань АВS пирамиды. Эта тень видна только на 1 и потому на

2 не показана.

Тень F1M1на 1от ребра FM призмы пересекает в точке Н ребро АС основания пирамиды, следовательно, в этой точке тень переломится и упадет на грань ACS. Чтобы найти вторую точку (Q CS), через которую пройдет эта тень, проведем горизонтальную проекцию обратного луча че-

рез точку Q1 = F1М1	С1		1o	до пересечения с C1S1 в точке Q1 и найдем
		S
фронтальную проекцию Q2				C2S2 точки Q . Так как грань ACS является
видимой только на	2, то следует построить лишь фронтальную проекцию

этой тени. Соединим прямой точки Н2 и Q2и получим фронтальную проекцию H2Q2 7282H2 контура тени от призмы на грань ACS пирамиды.

§34. ТЕНИ ДЕТАЛЕЙ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ

1.Тени в нишах*. ПРИМЕР 48. Построить тень в прямоугольной нише с плоской стенкой (рис. 120а).

A2	D
	2

	A2o	B2	O2
		B2o	O2o
E2		C2

A1o

B1o

O 1o

A1		E1	D1	B1		C1 O1
		а)				б)

Рис. 120

97

* Нишей называют углубление в стене.

Решение. Найдем тень А2

от точки А, падающую на стенку ниши.

Через найденную точку (А2 ) проведем две прямые: одну параллельную

А2Е2, а вторую – параллельную А2D2. Эти две прямые и определяют контур

падающей тени в нише.

ПРИМЕР 49. Построить тень в нише с плоской стенкой и по-

луцилиндрическим сводом (рис. 120б).

Решение. Найдем тень В2

точки сопряжения В и тень О2

центра ок-

ружности контура свода, падающие на стенку ниши. Через точку В2 про-

ведем прямую, параллельную прямолинейному участку В2С2

проекции

контура ниши,

а из точки О2 опишем дугу окружности радиусом О2 В2 =

= O2В2

до пересечения с контуром ниши. Эти кривая и прямая дадут иско-

мый контур падающей тени.

2. Тени на колоннах. ПРИ-

32

22

12

МЕР 50. Построить тень от прямо-

угольной плиты на цилиндриче-

A2 B2

C2

скую колонну (рис. 121).

o

o

D2

3

o

22

Решение.

Для

построения

B2o

2

12o

собственной тени колонны прово-

a2

дим касательную 1111

к горизон-

тальной проекции цилиндра, па-

раллельную

горизонтальной про-

A1

екции луча. С помощью получен-

ной

точки

касания

11

строим

фронтальную проекцию а2 обра-

зующей, являющейся

элементом

контура собственной тени колон-

ны. Падающая тень на колонне бу-

дет от отрезков АВ и ВС. Вначале

o

3 o

11o

найдем тень точки В, для чего че-

B1

1

21o

рез точки В1

и В2 проведем проек-

ции светового луча и с помощью

B1

31

21

11

C1

точки В1 найдем тень В2 .

Для нахождения тени от ребра

Рис. 121

АВ проведем

через него лучевую

плоскость и найдем линию ее сечения с поверхностью колонны. Так как

АВ

2, то фронтальной проекцией этой линии будет отрезок прямой

В2 D2 , совпадающий с фронтальной проекцией В2В2

луча, проходящего

через точку В.

Для построения тени от ребра ВС найдем прежде всего точку 12 ис-

чезновения тени на образующей а, являющейся контуром собственной те-

						98
ни колонны. Для этого найдем фронтальную проекцию 12								точки 1. Это бу-
дет точка,		тень которой 12 падает на образующую а. Далее на ребре ВС
между точками 1 и В возьмем произвольные точки 2, 3 … и найдем их тени
на колонне: вначале на горизонтальной проекции – 21 , 31									…, а затем на
фронтальной – 22				, 32 … Соединив точки 12 , 22 , 32 … В2						плавной кри-
вой, получим тень, падающую от ребра ВС плиты на колонну.
3. Тень от балкона на стену. ПРИМЕР 51. Построить тень, падаю-
щую на вертикальную стену от балкона, имеющего форму прямоугольного
параллелепипеда (рис. 122).
Решение. Контур искомой								D2		E2
тени определяется тенью, па-
дающей на стену от ломаной
линии АВСDE. Так как точки А					A2	B2		C
								2		D2o
и Е лежат на стене, их тени
совпадают с самими точками.
Построим тени В2				и С2 от то-		B2o				C2o
чек В и С и соединим их между
собой прямой В2 С2 , которая
будет тенью от ВС, при этом							B1o			C1o
В2 С2	=	B2С2. Остается по-				A1		E1
строить	тень D2			от точки D.
Отрезок С2 D2			= C2D2 – тень
от CD. Полученная ломаная						B1	D1			C1
линия А2В2		С2 D2		Е2С2А2 – ис-
комая.							Рис. 122
4. Тени на крышах. Построение теней на крыше сводится к построе-
нию теней на наклонной плоскости, так как крыши обычно представляют
собой сочетание пересекающихся плоскостей.
ПРИМЕР 52. Построить тень: а) на крыше от телевизионной антенны
АВСD и б) от крыши на фасадную стену здания (рис. 123).
Решение. а) Тень точки А совпадает с этой точкой. Для построения
тени от точки В проведем через нее световой луч и найдем точку В его
пересечения со скатом MNQP крыши, т.е. решим задачу на пересечение
прямой с плоскостью*. На рис. 123 вспомогательная горизонтально про-
ецирующая плоскость , проведенная через этот луч, пересекает скат
крыши по прямой 12. Фронтальной проекцией тени точки В является точка
В2 пересечения светового луча с 1222, а горизонтальная проекция той же
тени В1		1121	и найдена с помощью линии связи. Построение проекций
теней точек С и D произведено аналогично и показано на рисунке. Соеди-
нив точки А1, В1			и С1 , D1 , а так же А2, В2 и С2				, D2 , получим обе проек-
* См. § 12, рис. 45.

99

C2	B2	D2
			22
P2				Q
				2
	C2o	o		D2o
		B2
12	A2
M2				N2
M2o

L 1

	P1			21	Q1
				B1o
			C1o
		C1			D1o
	M1o			A1 B1
				D1
M1		1	1		N1
		1

Рис. 123

ции искомой тени от антенны.

б) Найдем тень М2от точки М на фасадной стене. Через точку М2 проведем прямую, параллельную М2N2, являющуюся тенью от МN. Тень от МL на фасадной стене спроецируется на 2 в отрезок прямой, совпадающий с проекцией светового луча, проходящего через точку М.

5. Тени на лестницах. Построение теней на лестницах сводится к построению теней от горизонтальных, вертикальных и наклонных прямых на горизонтальные и вертикальные плоскости*. Наибольшее затруднение вызывает нахождение теней от наклонных прямых.

ПРИМЕР 53. Построить тень на лестнице от боковой стенки с наклонным верхним краем. Лестница задана в трех проекциях (рис. 124).

100

* Горизонтальная поверхность ступени называется проступью, а вертикальная поверхность - подступенком.

Решение. Тени точек А и D совпадают с самими точками. Построим тени точек В и С. Тень точки В оказалась на 1, а точки С – на верхней площадке лестницы. Тень ребра СD пройдет по этой площадке параллельно С1D1. Для построения тени на ступенях от наклонного ребра ВС применим способ обратных лучей, использовав для этого профильную проекцию. Тень от ребра ВС на профильной проекции совпадает с ломаной линией L3M3N3 … Направление профильной проекции световых лучей показано на рисунке стрелкой. Через точки L3, M3, N3 … проведем профильные проекции обратных лучей до пересечения с В3С3 в точках 13, 23, 33 … и найдем фронтальные проекции 12, 22, 32 … тех же точек. Через эти проекции точек проведем проекции лучей (12L2 , 22M2 , 32N2…) до пересечения с проекциями соответствующих ребер ступеней. Соединив точки С2 , L2 , M2 , N2… R2 , B2 , A2 ломаной линией, получим фронтальную проекцию контура искомой тени, а найдя горизонтальные проекции C1 , L1 , М1… B1 , А1 тех же точек и соединив их ломаной линией, получим горизонтальную проекцию искомого контура.