7777. Интегрирование тригонометрических функций.

1) Интеграл вида .

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

,

Тогда

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

2) ∫ соs^mx*sinⁿxdx, где m,n – нат. числа

а) пусть m = 2p+1

∫соs^2p+1x*sinⁿxdx = ∫ (1-cos²x)^p*sinⁿxdx*d(sinx) = ∫ (1-U²)^p*UⁿdU, если n=2p+1, то синус выносится под знак диф-ла

sin dx = -d(cosx)

б) m = 2p, n=2q

∫соs^2px*sin^2qdx = ∫((1+cos2x)/2)^p*((1-cos2x)/2)^q*d(sinx)

3) Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

7. Интегрирование иррац-тей.

1. ∫R(x, ⁿ√x)dx, R – рац. выражение – над х и ⁿ√x проведено конечное число арифмет. операций.

= |x=t^k, dx=kt^k-∙1dt, k – НОК| = ∫R(t^k, t)kt^k-1dt

2. Интеграл вида где n- натуральное число.

С помощью подстановки функция рационализируется.

Тогда

8. Задачи, приводящие к понятию определения ои

Определение Ньютона: Пусть ф-ция f(x) имеет смысл на [а, b] первообразную F(x), тогда определенным інтегралом ф-ции f(x) на [а, b] называется число F(b) - F(а)

_а∫^bf(x)dx = F(b) - F(а) = F(x)|_a^b

Задачи: (для Римана)

1. площадь криволинейной трапеции

2. масса отрезка с переменной плотностью

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxx_i 0 и произвольном выборе точек _i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

Обозначение :

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Также верны утверждения:

9. Определение ои как предела инт суммы. Св ои.

1. 

2. ∫_a^bkdx = k(b-a)- вытекает из определения, т.к. ∑_k=0^n-1f(си_j)_дельтах_j =

∑_k=0^n-1 k_дельтах_j =k ∑_k=0^n-1 _дельтах_{j =} k(b-a)

3. - св-во линейности

4. Пусть ф-ция f(x) кусочно-постоянная на отрезке [a,b], т.е. сущ. разбиение отрезка [a,b] на (x_k, x_k+1) ф-ция f(x) принимает постоян зн-ние l_k:

∫_a^bf(x)dx = ∑_a^b l_{k дельта} x_k

5. 

6. - свойство аддитивности

7. Если f(x)  (x) на отрезке [a, b] a < b, то

8. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxx_i 0 и произвольном выборе точек _i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].

О. Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Также верны утверждения: