I Общие сведения

При расчете цепей синусоидального тока применяется символический (комплексный) метод. Метод называется символическим потому, что функции времени тока и напряжения заменяют их символическими комплексными изображениями. Из математики известно, что если имеется показательная функция , где - мнимая единица (), то по формуле Эйлера:

,

т.е. синусоидальный ток , может быть представлен как мнимая часть некоторой комплексной функции. Если мгновенное значение тока записано следующим образом:

,

где - амплитудное значение тока; - начальная фаза тока;

то соответствующая ему комплексная функция запишется в виде:

.

При расчетах полагают , тогда.

Величина называется комплексной амплитудой тока. Запись комплексного числа в таком виде называют показательной формой записи. При расчете токов часто используется комплексное действующее значение тока:

.

Аналогично можно представить в комплексном виде синусоидальное напряжение: . Любое комплексное число можно изобразить на комплексной плоскости в виде вектора. Совокупность нескольких векторов на комплексной плоскости называется векторной диаграммой.

Рисунок 1.1

Положительные углы на комплексной плоскости отсчитываются от оси против часовой стрелки, а отрицательные - по часовой стрелке. Комплексное число может быть представлено в алгебраической форме записи, т.е. в виде составляющих вектора по осям:

.

При известном комплексном действующем значении тока его соответствующее мгновенное значение записывается так:

.

Следует учитывать, что токи и напряжения на различных участках электрической цепи могут иметь различную начальную фазу. Наглядное представление о фазовых соотношениях даёт векторная диаграмма токов и напряжений.

При синусоидальном токе мгновенное значение напряжения на резисторе совпадает по фазе с током. В комплексной форме записи:

, (1.1)

Векторная диаграмма напряжения на резисторе и тока в нем изображена на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2.

При построении совпадающие вектора всегда изображают с небольшим сдвигом относительно друг друга, чтобы можно было различить начало и конец каждого вектора.

Напряжение на индуктивном элементе:

,

опережает по фазе ток на (или ).

Комплекс действующего значения напряжения на индуктивности:

(1.2)

Величину называют индуктивным сопротивлением, а величину называют комплексным индуктивным сопротивлением элемента. Векторная диаграмма для идеальной (без потерь) индуктивной катушки изображена на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3.

Напряжение на конденсаторе отстаёт по фазе от тока на (или ):

.

Эта же запись в комплексной форме:

(1.3)

Величина - ёмкостное сопротивление, а - комплексное ёмкостное сопротивление.

Векторная диаграмма для конденсатора представлена на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4.

Рассмотрим построение векторной диаграммы сложной цепи на примере схемы, изображённой на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5.

Построение векторной диаграммы удобнее начинать с построения вектора , общего для обеих ветвей. В ветви с активно-индуктивным сопротивлением ток отстаёт по фазе от напряжения на угол , а в ветви с активно-емкостным сопротивлением ток  опережает напряжение на угол . Векторная сумма токов и равна общему току .

Для определения направления тока нужно построить треугольник (по трем известным сторонам) руководствуясь вторым законом Кирхгофа (векторная сумма ). Вектор тока совпадает по направлению с вектором напряжения  на резисторе . Вектор напряжения на ёмкостном сопротивлении на  отстаёт от тока  и построен из конца вектора . Значение напряжения  можно вычислить по формуле (1.3).

Для определения направления тока нужно построить треугольник , используя первый закон Кирхгофа.

Вектор напряжения на активном сопротивлении катушки построим по направлению тока .Значение напряжения можно определить по формуле (1.1). Из конца этого вектора под углом к току построим вектор напряжения на индуктивном сопротивлении, значение которого определится по формуле (1.2). Векторная сумма (второй закон Кирхгофа).

Сопротивления приёмников можно рассчитать по закону Ома, если известны токи в ветвях и напряжения на отдельных элементах цепи. Из векторной диаграммы видно, что напряжения на элементах связаны следующими уравнениями:

.

По закону Ома полное сопротивление первой и второй ветвей соответственно:

, .

Разность фаз между напряжением и током в каждой ветви можно рассчитать так:

; .

Кроме векторной диаграммы при анализе цепей синусоидального тока часто пользуются топографической диаграммой. Она представляет собой векторную диаграмму токов и совмещённую с ней диаграмму из точек комплексных потенциалов цепи, построенных на комплексной плоскости. Каждой точке схемы соответствует определённая точка на комплексной плоскости.

Рассмотрим построение топографической диаграммы для схемы, изображённой на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6.

Построение топографической диаграммы начинаем с построения векторной диаграммы токов. Для этого зададимся направлением одного из токов в схеме, например, направим ток по оси . Условимся считать комплексный потенциал точки равным 0. Тогда положение (потенциал) точки можно определить в соответствии с уравнением:

,

то есть в выбранном масштабе напряжения отложить отрезок равный напряжению по направлению вектора тока . Далее определяем положение (потенциал) точки :

.

Точка на комплексной плоскости находится следующим образом: из конца отрезка (т.е. из точки ) под углом к вектору тока откладываем отрезок, по длине соответствующий (напряжение на индуктивном сопротивлении опережает по фазе ток на ). Сумма векторов и равна вектору напряжения . Вектор тока нужно построить под углом к направлению , т.к. ток в индуктивном сопротивлении отстаёт по фазе от напряжения на . Векторная сумма токов и равна вектору тока . Потенциал точки :

.

Для нахождения точки необходимо отложить из точки вектор напряжения под углом к вектору тока . Вектор напряжения равен напряжению на входе цепи .

Мощности источников и пассивных участков цепи также можно представить в комплексной форме:

,

где - полная комплексная мощность; – сопряженное комплексное действующее значение тока; - активная мощность цепи; - реактивная мощность цепи.

В цепи синусоидального тока выполняется баланс комплексных, активных и реактивных мощностей источников и потребителей:

.