- •Глава 3. Линии второго порядка § 1. Гипербола
- •Вывод канонического уравнения
- •Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению
- •§ 2. Эллипс
- •Вывод канонического уравнения
- •Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению
- •Параметрические уравнения эллипса
- •§ 3. Парабола
- •Вывод канонического уравнения
- •§ 4. Эксцентриситет и директрисы эллипса и гиперболы
- •§ 5. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы Полярная система координат
- •Вывод полярных уравнений
- •§ 6. Касательные к эллипсу, гиперболе, параболе
- •§ 7. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы
- •§ 8. Линии второго порядка
Параметрические уравнения эллипса
Пусть задан эллипс своим каноническим уравнением (4), где . Построим две окружности радиусами и соответственно с центрами в начале координат. Из начала координат проведем луч под углом к положительному направлению оси , и обозначим А и В точки его пересечения соответственно с большей и меньшей окружностями. Че-
Рис. 3.6. рез точку А проведём вертикальную прямую, через В – горизонтальную, их пересечение обозначим М. Кроме того, обозначим K и N основания перпендикуляров, опущенных на ось соответственно из точек А и В (рис.3.6).
Если точка M имеет координаты (x; y), то по рис. 3.6 видно, что
,.
Координаты точки M удовлетворяют (4), значит, M принадлежит эллипсу. Очевидно, если изменяется в пределах от 0 до 2, то мы получим все точки эллипса. Отсюда вытекает один из способов построения точек эллипса. Кроме того, мы вывели его параметрические уравнения:
.
§ 3. Парабола
Определение. Пусть на плоскости заданы прямая и точка F на расстоянии p от неё. Параболой называется множество всех точек той же плоскости, для каждой из которых расстояние до точки F, называемой фокусом параболы, равно расстоянию до прямой , называемой ее директрисой.
Вывод канонического уравнения
В
Рис.3.7 параболы формально запишется в виде равенства ,или
. (1)
С учётом того, что в выбранной системе координат , , , получаем:
(1)
Рис. 2.
, (2)
н
Рис.3.8
§ 4. Эксцентриситет и директрисы эллипса и гиперболы
Эксцентриситетом гиперболы называется число , равное отношению половины расстояния между фокусами гиперболы к ее действительной полуоси.
Эксцентриситетом эллипса называется число , равное отношению половины расстояния между фокусами эллипса к его большой полуоси.
Директрисами гиперболы называются прямые, перпендикулярные ее действительной оси и находящиеся от центра на расстоянии, равном отношению действительной полуоси к эксцентриситету.
Директрисами эллипса называются прямые, перпендикулярные его большой оси и находящиеся от центра на расстоянии, равном отношению большой полуоси к эксцентриситету.
, (1) |
, (1I) |
, a > b (2) |
, a < b, (2I) |
, |
, |
уравнения директрис: . |
уравнения директрис: . |
Р
.
Рис. 1
Рассмотрим теперь эллипс (2). Для него , т.к. . Для эллипса (2)
Рис.3.9 , поэтому . Исследуем, как меняется форма эллипса в зависимости от его эксцентриситета. Опять зафиксируем полуось . При получаем , и эллипс вырождается в окружность. С ростом полуось уменьшается, эллипс «худеет», а если , то , т.е. эллипс и вовсе стремится превратиться в отрезок (рис 3.10).
Теперь вернемся к директрисам. Так как для гиперболы (1) , а для эллипса (2) , Рис. 3.10
то для гиперболы , а для эллипса . Это значит, что и директрисы гиперболы, и директрисы эллипса свою кривую не пересекают. Кроме того, директриса и соответствующий ей фокус отделены кривой друг от друга (рис. 3.11 и 3.12).
Теорема (основное свойство эллипса и гиперболы по отношению к директрисам). Для всех точек гиперболы (эллипса) отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей этому фокусу директрисы есть число постоянное, равное эксцентриситету гиперболы (эллипса). И обратно: если для какой-либо точки плоскости отношение расстояния до фокуса заданной гиперболы (эллипса) к расстоянию до соответствующей этому фокусу директрисы равно эксцентриситету заданной гиперболы (эллипса), то эта точка принадлежит гиперболе ( эллипсу).
►Докажем утверждение для левого фокуса и левой директрисы гиперболы (1) (в остальных случаях вы его докажете самостоятельно в качестве упражнения). На рис. 3.13 точки имеют следующие координаты: ,, . Тогда
[§1, (5)] = ; .
И з этих двух равенств и получаем:
.
Докажем обратное утверждение. Пусть для некоторой точки плоскости справедливо соотношение:
. (3)
Так как , а , то
(3)
.
Учитывая, что , из последнего уравнения получаем . Таким образом, точка удовлетворяет уравнению заданной гиперболы. ◄
На основании доказанной теоремы мы можем сформулировать общее определение эллипса, гиперболы и параболы.
Определение. Гиперболой (эллипсом, параболой) называется множество точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки к расстоянию до заданной прямой в этой плоскости есть число постоянное, равное , причём > 1 ( < 1, = 1).