Решение
Обозначим левую часть уравнения через P(x); пусть x0 — действительный корень многочлена P(x). Тогда Q(x) = P(x) / (x – x0) — тоже многочлен, притом кубический, поэтому он также имеет действительный корень, пусть x1. Из этого следует, что P(x) делится на (x – x0)(x – x1), при этом получается квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом 1. Попробуем найти разложение P(x) в произведение трёхчленов (одно из разложений, если их несколько). Произведение свободных членов этих трёхчленов должно быть равно 1. Напишем разложение с неопределёнными коэффициентами: x4 + ax3 + 2x2 + bx + 1 = (x2 + yx + z)(x2 + tx + 1/z). При этом должны выполняться равенства a = y + t, (1) 2 = 1/z + yt + z, (2) b = y/z + tz. (3) Дискриминант одного из трёхчленов неотрицателен; пусть, например, y2 – 4z ≥ 0. (4) Имеем: a2 + b2 = (y + t)2 + (y/z + tz)2 = y2 + 2yt + t2 + (y/z)2 + 2yt + t2z2 = y2(1 + 1/z2) + t2(1 + z2) + 4yt. В последнем слагаемом заменяем yt, воспользовавшись равенством (2); дальше воспользуемся условием (4); последнее выражение равно y2(1 + 1/z2) + t2(1 + z2) + 4(2 – z – 1/z) ≥ 4z(1 + 1/z2) + t2(1 + z2) + 8 – 4z – 4/z = 8 + t2(1 + z2) ≥ 8, что и требуется.
38. Автор: Оригинальный (без литературной правки) вариант условия:
Сумма n чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два числа, произведение которых не больше -1/n. : n чисел x1, x2, x3, ..., xn удовлетворяют двум условиям: xn=1; xn2=0. Докажите, что из них найдутся два числа, произведение которых не больше -1/n.
Решение
Рассмотрим на плоскости n точек с координатами (xi, xi2). По условию задачи, координаты их центра тяжести равны (0, 1/n). Тем самым, найдётся точка с положительной абсциссой (xi, xi2), xi > 0. Проведём через точку с наибольшей положительной абсциссой и центр тяжести прямую. Эта прямая пересекает параболу y = x2 ещё в одной точке, абсциссу которой обозначим u. Поскольку все остальные точки не могут лежать ниже этой прямой, найдётся точка с xj ≤ u. Заметим, что xi и u удовлетворяют уравнению 1/n + kx = x2, значит, их произведение uxi = – 1/n, а xixi ≤ 1/n, так что xi и xj — искомые числа.
39. В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются "непохожими", если они различаются не менее, чем по 51 признаку. а)(4) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений. б)(4) А может ли быть 50?
Решение
а) Пусть m — максимальное число попарно непохожих растений в справочнике. Подсчитаем суммарное число различий между всеми парами этих растений по всем признакам. Число пар растений равно m (m – 1) / 2, и каждая пара различается не меньше чем по 51 признаку, поэтому общее число различий S ≥ 51 · m(m – 1) / 2. Оценим S другим способом. Пусть mi — число растений, обладающих признаком i (среди m рассматриваемых), тогда число пар растений, которые i-й признак различает, равно mi(m – mi), и общее число различий между растениями равно S = m1(m – m1) + m2(m – m2) + ... + m100(m – m100). Заметим, что mi(m – mi) = m2/4 – (m/2 – mi)2 ≤ m2/4. Поэтому S ≤ 100 · m2/4 = 25m2. Значит, 51 · m(m – 1)/2 ≤ S ≤ 25m2, откуда m ≤ 51. Допустим, m = 51 (нечётное число), тогда получаем строгое неравенство: mi(m – mi) < m2/4, и 51 · m(m – 1)/2 ≤ S < 25m2, откуда m < 51. Противоречие. Значит, m ≤ 50. б) Ответ: нет. Докажем, что в справочнике не могут находиться 50 попарно непохожих растений. Оценим значение C — суммарное количество совпадений признаков: C ≤ 49 · 1/2 · 50 · 49, (*) поскольку у каждой пары растений могут совпадать не более 49 признаков, 1/2 · 50 · 49 — количество пар растений. Оценим C другим способом. Если m1 растений (среди 50 рассматриваемых) обладают первым признаком, то число не обладающих этим признаком растений равно 50 – m1. Тогда по первому признаку не отличаются 1/2(m1(m1 – 1) + (50 – m1)(49 – m1)) пар растений. Минимум этого выражения достигается при m1 = 25 и равен 600, следовательно, 100 · 600 ≤ C. (**) Получаем неравенство 60 000 ≤ C ≤ 60 025, которое ещё не даёт искомого противоречия. Вот если бы признаков было 101... Добавим новый 101-й признак: число признаков, которыми обладает растение, чётно. Если два растения различались по 51 признаку, то после введения дополнительного признака они отличаются по 52 признакам. Итак, теперь любые два растения из 50 рассматриваемых отличаются не менее чем по 52 признакам. Уточним полученные выше неравенства для C: C ≤ 49 · 1/2 · 50 · 49 = 60 025, (*' ) C ≥ 101 · 600 = 60 600. (**' ) А эти неравенства уже противоречивы.
40. На берегу круглого острова Гдетотам расположено 20 деревень, в каждой живет по 20 борцов. Был проведен турнир, в котором каждый борец встретился со всеми борцами из всех других деревень. Деревня А считается сильнее деревни Б, если хотя бы k поединков между борцами из этих деревень заканчивается победой борца из деревни А. Выяснилось, что каждая деревня сильнее следующей за ней по часовой стрелке. Какое наибольшее значение может иметь k? (У всех борцов разная сила, и в поединке всегда побеждает сильнейший.)