5.1.1 Примеры расчёта переходных процессов классическим

методом

Пример первый.

Электрическая цепь, показанная на рисунке 4.1, включается на постоянное напряжение.

Для переходного процесса, возникающего в заданной электрической цепи при замыкании рубильника S, определить ток в неразветвлённой части цепи и переходное напряжение u_C (t) на зажимах конденсатора при нулевых начальных условиях. Параметры цепи: U₀=400 В, R=50 Ом, L=1000 мГн, С=50 мкФ.

Расчёт

На основании первого и второго законов Кирхгофа запишем систему уравнений для режима цепи при подключении источника постоянного напряжения величиной U₀.

(5.8)

(5.9)

(5.10)

Дифференцируя уравнение (5.9), находим:

(5.11)

Учитывая уравнение (5.10), получим:

(5.12)

Подставляя найденное значение i₂ в уравнение (5.8), получим следующее уравнение для определения тока i₁(t):

(5.13)

Для рассматриваемого переходного процесса дифференциальное уравнение свободного режима имеет вид:

(5.14)

Характеристическое уравнение свободного режима электрической цепи запишется в виде:

(5.15)

Найдём корни уравнения (5.15) по формуле:

(5.16)

Подставив численные значения R, L, C, получим:

Корни уравнения (5.16) действительны и различны, поэтому свободная составляющая тока i_1св(t) будет равна:

(5.17)

Принуждённую составляющую i_1пр(t) определим, воспользовавшись выражением:

(5.18)

Откуда:

8 (А)

Суммируя полученные решения, получим следующее выражение для тока i₁:

(5.19)

Для определения постоянных А₁ и А₂ необходимо знать i₁(0) и . Найдём эти величины, воспользовавшись независимыми начальными условиями:

и уравнениями (5.8), (5.9):

(5.20)

(5.21)

В уравнении (5.9) величина заменена на u_С. Подставляя численные значения, находим:

Значение найдём из выражения (5.11):

(5.22)

Подставляя численные значения, имеем:

Для определения постоянных интегрирования А₁, А₂ найдём и :

(5.23)

(5.24)

Учитывая начальные условия, получим систему уравнений для определения А₁, А₂:

(5.25)

Решая систему, находим А₁=-11,314 и А₂=11,314. Окончательно выражение для тока i₁(t) запишется в виде:

(5.26)

Графики изменения токов i₁(t), i_1пр(t), i_1св(t) представлены на рисунке 5.1.

Рис. 5.1. График изменения токов i₁(t), i_1пр(t), i_1св(t) в цепи

Для определения зависимости u_C (t) воспользуемся выражением (5.9):

(5.27)

Подставляя значения U₀, R, i₁, получим:

(5.28)

График изменения напряжения на ёмкости представлен на рисунке 5.2.

Рис. 5.2. График изменения напряжения на ёмкости и_с(t)

Пример второй (случай равных корней).

Параметры схемы цепи: R=100 Ом; L=40 мГн; С=1мкФ; U₀=125 В.

Расчёт

Определим значения корней характеристического уравнения (5.15) свободного режима электрической цепи для заданных параметров её элементов:

Корни уравнения действительны и равны, следовательно, свободная составляющая тока будет иметь вид:

(5.29)

Принужденную составляющую найдем, воспользовавшись выражением (5.7):

С учетом полученного значения и выражения (5.29) получим:

(5.30)

Начальные условия найдем, воспользовавшись выражениями (5.22), (5.24):

(5.31)

(5.32)

Найдем значения и из выражения (5.30):

(5.33)

Подставляя вместо и их значения из (5.31) и (5.32), получим следующую систему уравнений для нахождения В₁ и В₂:

Решая систему уравнений, найдем В₁=0, В₂= –12500 А Окончательно выражение для тока запишется в виде:

Графики изменения токов , и представлены на рисунке 5.3.

Рис. 5.3. Графики зависимостей , и

Выражение для найдем из (5.9):

Подставляя величины и i₁ получим:

График изменения напряжения на емкости представлен на рисунке 5.4.

Рис. 5.4. График изменения напряжения на емкости