- •Оглавление
- •Часть 1. Основной тест
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной
- •Часть 2. Приложения
- •Предисловие
- •Часть 1. Основной текст.
- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •1. Определители.
- •1.1. Основные понятия.
- •1.2 Свойства определителей.
- •1.3 Приложение определителей к решению систем линейных уравнений.
- •2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
- •2.1 Декартовы координаты на плоскости.
- •2.2 Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.
- •2.2.1. Расстояние между двумя точками.
- •2.2.2. Деление отрезка в данном отношении.
- •2.2.3. Площадь треугольника.
- •2.3. Декартовы координаты в пространстве.
- •2.4. Основные задачи аналитической геометрии в пространстве.
- •3. Векторы на плоскости и в пространстве.
- •3.1. Основные понятия.
- •3.2. Линейные операции над векторами.
- •3.3. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в данном базисе.
- •3.4. Проекция вектора на ось.
- •3.5. Ортонормированный базис на плоскости и в пространстве.
- •3.6. Действия над векторами в координатной форме.
- •4. Скалярное произведение векторов.
- •4.1. Определение и свойства скалярного произведения.
- •4.2. Скалярное произведение в координатной форме.
- •4.3. Некоторые приложения скалярного произведения.
- •5. Векторное и смешанное произведения векторов.
- •5.1. Определение векторного произведения.
- •5.2. Свойства векторного произведения
- •5.3. Векторное произведение в координатной форме.
- •5.4. Определение смешанного произведения.
- •5.5. Смешанное произведение в координатной форме.
- •6. Понятие линейного (векторного) пространства.
- •6.1. Определение линейного пространства.
- •6.2. Линейная зависимость
- •6.3. Базис. Координаты. Размерность.
- •6.4. Пространство арифметических векторов Rn.
- •7. Прямая линия на плоскости.
- •7.1. Понятие уравнения линии на плоскости.
- •7.2 Уравнение прямой на плоскости.
- •7.2.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •7.2.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
- •7.2.3. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •7.2.4. Уравнение прямой в отрезках на осях.
- •7.2.4. Общее уравнение прямой.
- •7.2.6. Векторное уравнение прямой.
- •7.2.7. Уравнение прямой с данным вектором нормали.
- •7.2.8. Нормальное уравнение прямой.
- •7.3. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой
- •7.3.1 Угол между прямыми. Условия параллельности и ортогональности.
- •7.3.2. Расстояние от точки до прямой.
- •7.3.3. Точка пересечения двух прямых.
- •7.4. Геометрический смысл линейных неравенств и систем линейных неравенств на плоскости
- •8. Прямая и плоскость в пространстве.
- •8.1. Уравнения плоскости в пространстве.
- •8.1.1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ортогонально данному вектору.
- •8.1.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •8.1.3. Общее уравнение плоскости.
- •8.1.4. Нормальное уравнение плоскости.
- •8.1.5. Расстояние от точки до плоскости.
- •8.1.6. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •8.2. Уравнение прямой в пространстве.
- •8.2.1. Векторное уравнение прямой.
- •8.2.2. Параметрические уравнения прямой.
- •8.2.3. Канонические уравнения прямой.
- •8.2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •8.2.5. Общее уравнение прямой в пространстве.
- •9. Кривые второго порядка на плоскости.
- •9.1. Окружность.
- •9.2. Эллипс
- •Уравнение эллипса со смещенным центром
- •9.3. Гипербола
- •9.4. Парабола.
- •10. Матрицы
- •10.1. Основные понятия
- •10.2. Действия над матрицами.
- •10.2.1. Сложение матриц.
- •10.2.2. Умножение матрицы на число.
- •10.2.3. Умножение матриц.
- •10.3. Квадратные матрицы. Обратная матрица.
- •10.4. Ранг матрицы.
- •11. Система линейных алгебраических уравнений.
- •11.1. Основные понятия.
- •11.2. Методы решения невырожденных слау.
- •11.3. Метод Гаусса решения слау.
- •11.4 Исследование слау: Терема Кронекера-Капелли.
- •11.5. Исследование структуры решения слау.
- •11.5.1. Структура решения однородной системы.
- •11.5.2. Структура решения неоднородной системы.
- •12. Элементы матричного анализа.
- •12.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы.
- •12.2. Квадратичные формы в Rn.
- •Раздел 2. Математический анализ функций одной переменной.
- •13. Множества. Действительные числа.
- •13.1 Логическая символика.
- •13.2. Множества. Действия над множествами.
- •13.3. Действительные числа.
- •13.4. Ограниченные и неограниченные числовые множества.
- •13.5. Числовые промежутки. Окрестность точки.
- •13.6. Индуктивные множества. Натуральные числа. Метод математической индукции.
- •14. Предел последовательности.
- •14.1. Понятие числовой последовательности.
- •14.2. Геометрическая прогрессия
- •14.3. Ограниченные и неограниченные последовательности.
- •14.4. Определение предела последовательности.
- •14.5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
- •14.6. Арифметические свойства пределов последовательностей
- •14.7. Предельный переход в неравенствах
- •14.8. Монотонные последовательности.
- •14.9. Число e.
- •15. Функции
- •15.1. Понятия функции.
- •15.2. Основные характеристики поведения функции.
- •15.3. Понятие сложной и обратной функции.
- •15.3.1. Понятие сложной функции.
- •15.3.2. Понятие обратной функции.
- •З аметим, что монотонные функции взаимно однозначны (см. Рис. 15.11):
- •15.4. Основные элементарные функции.
- •15.5. Некоторые важнейшие функциональные зависимости.
- •15.5.6. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
- •15.6. Преобразование графиков функций.
- •16. Предел функции.
- •16.1. Определение предела функции в точке.
- •16.2. Основные теоремы о пределах функций.
- •Четвертый замечательный предел
- •Основные свойства б.М. Функций.
- •16.5 Сравнение б. М. И б. Б. Функций.
- •16.6. Односторонние пределы.
- •17. Непрерывность функции.
- •17.1. Непрерывность функции в точке.
- •17.2. Локальные свойства непрерывных функций.
- •17.3. Непрерывность обратной функции.
- •17.4. Непрерывность основных элементарных функций.
- •17.5. Точки разрыва функции и их классификация.
- •17.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •18. Производная.
- •18.1. Понятие производной.
- •18.2. Дифференцируемость.
- •18.3. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями.
- •18.4. Производная сложной и обратной функции.
- •18.4.1. Производная сложной функции
- •18.4.2. Производная обратной функции.
- •18.5. Таблица производных
- •18.6. Логарифмическая производная
- •18.7. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.
- •18.8. Односторонние и бесконечные производные.
- •18.9 Дифференциал.
- •18.10. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •18.11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
- •18.12. Неявное задание функции и ее дифференцирование.
- •18.13. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •18.14. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •18.15. Формула Тейлора
- •18.15.1. Формула Тейлора для многочлена.
- •18.15.2. Формула Тейлора для произвольной функции.
- •18.15.3. Формула Маклорена некоторых элементарных функций.
- •18.15.4. Некоторые приложения формулы Маклорена.
- •19. Применение производных к исследованию функций и построению графиков.
- •19.1. Монотонность: убывание и возрастание.
- •19.2. Экстремумы: максимумы и минимумы.
- •19.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •19.4. Выпуклость вогнутость. Точки перегиба.
- •19.5. Асимптоты графика функции.
- •19.6. План полного исследования функции и построения ее графика.
2.4. Основные задачи аналитической геометрии в пространстве.
Рассмотрим задачи о нахождении расстояния между двумя точками и деления отрезка в данном отношении в пространстве.
Расстояние между двумя точками и равно длине диагонали прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 2.4). Тогда
.
Если точка делит отрезок в отношении, т. е. , то (2.5)
Если точка является серединой отрезка , то ее координаты получим из формул (2.5) при , т. е.
. (2.6)
3. Векторы на плоскости и в пространстве.
3.1. Основные понятия.
Определение. Вектор- направленный отрезок, его характеристики- направление и длина.
Обозначать вектор будем символом , либо, где точка А – начало вектора, а точка В – конец вектора:
.
Начало вектора называется его точкой приложения. Модуль (длину) вектора будем обозначать символом или .
Векторы и называются коллинеарными, пишем ||, если они лежат на параллельных прямых.
Если коллинеарные векторы сонаправлены (одинаково направлены), то пишем: (рис. 3.2 а), если противоположно направлены, то пишем (рис. 3.2 б).
Error: Reference source not found
Два вектора и называются равными, пишем =, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину, т.е.
= <=> и =
Из этого определения вытекает, что векторы допускают параллельный перенос, т. е. являются свободными, точка приложения вектора может быть выбрана произвольно, а равные векторы совмещаются параллельным переносом.
Нулевой вектор - вектор, длина которого равна нулю: =0. Начало и конец нулевого вектора совпадают, а его направление не определено. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Единичный вектор или орт- это вектор, длина которого равна единице, если - орт, то
=1. Единичный вектор, сонаправленный с вектором , называется ортом вектора и
обозначается : и =1.
Вектор называется противоположным вектору , если они противоположно направлены и их модули равны: и =. Обозначается: -. Из рис. 3.3 ясно, что если , то , т.к. и =.
3.2. Линейные операции над векторами.
К линейным операциям над векторами относятся операция сложения векторов и операция умножения вектора на действительное число.
Сложение векторов. Под суммой векторов и понимаем вектор +, идущий из начала вектора в конец вектора , если начало вектора приложено к концу вектора (см. рис. 3.4):
Э то правило сложения векторов называется правилом треугольника.
Правило параллелограмма сложения векторов (см. рис. 3.5): начала векторов и совмещают, тогда сумма векторов и изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах.
Эквивалентность этих определений ясна из рис. 3.4 и 3.5.
Свойства сложения векторов:
-
Коммутативность: +=+
-
Ассоциативность: (+)+=+(+)
-
Нулевой вектор: существует нулевой вектор , такой, что для любого вектора +=+=
-
П ротивоположный вектор: для любого вектора существует противоположный вектор - такой, что +(-)=(-)+=
Доказательство: Свойство 1 вытекает непосредственно из определения сложения векторов по правилу параллелограмма (см. рис. 3.5). Свойство 2 вытекает из правила треугольников (см. рис. 3.6).
Разностью векторов и называется вектор –=+(-). Другими словами, разность векторов и – это такой вектор =–, который, будучи прибавлен к вектору , даст вектор (см. рис. 3.7).
Умножение вектора на число. Произведением вектора на число λ называется вектор λ такой, что:
-
;
-
, если λ>0;
, если λ<0;
Свойства умножения вектора на число:
-
1•=;
-
α (β )=(α β)
-
(α+β) =α+β
Доказательство свойств 1, 2, 3 легко получить непосредственно из определения умножения вектора на число и сложения векторов (представляется читателю). Свойство 4 основано на подобии параллелограммов изображенных на рис. 3.9, где λ является коэффициентом подобия при λ>0.
Следствия определения и свойств линейных операций над векторами.
-
0•= для любого вектора
-
-=(-1)•
-
Условия коллинеарности:
|| существует число α такое, что =α. Действительно, если =α, то || по определению умножения вектора на число.
Обратно. Если ||, то возможны два случая:
-
, тогда =α, где ,
-
, тогда =α, где
-
Орт вектора:, • .
Линейная комбинация векторов. Линейной комбинацией векторов 1, 2, …,n с коэффициентами λ1, λ2, …, λn называется вектор λ11+λ22+…+λnn.