- •1. Множество действительных чисел. Основные структуры множества r.
- •2.Непрерывность множества r, аксиома Архимеда и теорема Кантора
- •3.Изображение r бесконечными десятичными дробями.
- •4. Модуль r и его свойства.
- •5. Окрестности конечных и бесконечно удаленных точек. Аксиомы окрестностей.
- •6.Ограниченое и неограниченное множество
- •7.Числовая функция. Способы задания
- •8.Свойства функций
- •9.Числовая последовательность. Способы задания, свойства, изображение числовой последовательности.
- •10.Предел числовой последовательности ее геометрический смысл
- •11.Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности
- •12.Понятие под последовательности Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •13.Теорема о сходимости монотонно ограниченной числовой последовательности
- •14.Теоремы о пределе промежуточной последовательности.
- •15. Неравенство Бернулли. Число e и связанные с ним пределы.
- •16. Понятия, относящиеся к точечным множествам
- •17. Предел функции в точке и на бесконечности
- •18. Односторонние пределы
- •19. Бесконечно малая функция
- •20. Бесконечно малые функции
- •21.Арифметические свойства пределов
- •22.Теорема о единственности предела функции
- •23.Теорема о пределе промежуточной функции
- •24. Теорема о предельном переходе в равенстве, в неравенствах
- •25. Непрерывность функции в точке
- •26.Разрывы функции. Классификация точек разрыва. Точки устранимого разрыва.
- •27. Теорема о предельном переходе под знаком непрерывной функции.
- •28 Функции, непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса)
- •2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса
- •29. Сложная функция полученная путем композиции
- •30. Обратная функция.
- •Теорема существования и непрерывность обратной функции
13.Теорема о сходимости монотонно ограниченной числовой последовательности
Теорема: Всякая монотонно убывающая и ограниченная снизу ч.п. имеет конечный предел.
Дано: {xn } – Ограниченная снизу, строго убывающая ч.п.
Доказать: {xn } – сходится.
Доказательство:
-
{xn } – ограничена снизу, это значит, что множество её значений ограниченно снизу, а потому имеет точную нижнюю грань.
Геометрически это значит, что левее точки m членов данной последовательности нет, а в любой окрестности точки m в правой её части найдётся хотя бы один член данной последовательности.
-
{xn } – строго убывает
Из номеров n1 и k выберем наибольший:
А)
Б)
Из всего этого следует, что
Теорема для монотонно возрастающей функции доказывается аналогично.
14.Теоремы о пределе промежуточной последовательности.
Теорема о пределе промежуточной последовательности: если для любого n из множества натуральных чисел выполняется неравенство xn≤yn≤zn , где {xn},{yn}, {zn} это числовые последовательности, и существуют равные между собой пределы последовательностей {xn} и {zn}, то существует и предел промежуточной последовательности, равный предыдущему.
nN: xn≤yn≤zn, где {xn},{yn}, {zn}-ч.п.
limxn= limzn=A, то limyn=A
-
Ч.п. называется сходящейся, если она имеет предел при n
Теорема о единственности предела сходящейся последовательности: если ч.п. имеет предел, то он единственный.
-
Т.к. ч.п. определена как функция натурального аргумента, то для нее справедливы теоремы о пределах, доказанные для функции действительного переменного.
-
В том числе верны теоремы об арифметических свойствах предела.
{xn},{yn}-ч.п.
lim xn=A, lim yn=B
тогда существуют пределы:
1)lim (c1xnc2yn)=c1Ac2B , где с1 и с2- const
2) lim (xn·yn)=A·B
3) lim (xn/yn)=A/B
Критерий Коши: для того, чтобы ч.п. была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы для любого 0 существовал положительный натуральный номер n, зависящий от такой, что для любых n и k больших, чем n выполнялось неравенство xn-xk
Геометрически последнее неравенство означает, что с увеличением номеров членов последовательности расстояние между самими членами последовательности стремится к 0
lim xn=A(0)( nN)(n,kN:nn, kn)xn-xk
верно и обратное!
15. Неравенство Бернулли. Число e и связанные с ним пределы.
1.Неравенство Бернулли.
Если число x ≥ -1, то для любого натурального n верно неравенство : (1+x)n ≥ 1+nx
Докажем это неравенство методом математической индукции.
1) в начале утверждение доказывается для n=1.
2)далее делается предположение индукции: предположим, что утверждение верно для некоторого номера n=k.
3)если удается доказать, что утверждение верно для следующего номера n=k+1, то можно утверждать, что оно верно для любого натурального номера.
Доказательство:
1)n=1, (1+x)n=1 - верно
2)n=2, (1+x)2≥1=+2x – верно
Предположим, что неравенство верно при (1+x)k≥1+kx
(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)=1+kx+x+kx2=1+(k+1)x
Для любого натурального n неравенство (1+x)n≥1+nx – верно, так как оно выполняется для n=k+1.
Рассмотрим неравенство Бернулли при x=1/n2(1+1/n2)n≥1+n
В случае n=1 неравенство переходит в равенство для всех n1 выполняется строгое неравенство.
2. Рассмотрим последовательность с общим членом (1+1/n)n= xn, где n- множество натуральных чисел.
Докажем, что она имеет конечный предел. Для этого в начале рассмотрим вспомогательную последовательность.
xn= (1+1/n)n+1,nN
а)xn/xn-1=(1+1/n)n+1/(1+1/n-1)n= (1-1/n2)n(1+1/n) (1-1/n2)n(1+1/n2)n=
Воспользуемся неравенством Бернулли
=(1-1/n4)nxn xn-1- убывающая последовательность
xn= (1+1/n)n+1,nN - строго убывает
б) xn= (1+1/n)n+1,nN=4,27/8,64/27,…, (1+1/n)n+1
Числовая последовательность ограничена снизу, так как ее члены не могут стать меньше одного.
Числовая последовательность (1+1/n)n+1монотонно убывает и ограничена снизу, следовательно, она имеет предел. В качестве одной из нижних граней можно взять число один, но единица не является точной нижней гранью этой последовательности. Точной нижней гранью является наибольшая из всех нижних граней множества членов последовательности. Эту нижнюю грань обозначим e (infxn=e), следующим пределом данной последовательности является число e.
Число e –иррациональное, e=2,718281…
3. xn= (1+1/n)n,nN
limn(1+1/n)n+1/1+1/n= limn(1+1/n)n+1/ limn1+1/n=e/1= e limn(1+1/n)n+1/1+1/n – существует и равен e.
Можно доказать, что limx(1+1/x)x= e
1) limx(1+1/x)x= e
2)1/x = zz0, x=1/z
3)ln(limx(1+1/x)x)=lne
Под знаком предела стоит непрерывная функция, если искл. Из рассм. точкой x=0 по теореме о пределе непрерывной функции предел функции равен ее значению при предельном значении аргумента. На практике это значит, что знак функции и знак предела можно менять местами, так как логарифмическая функция непрерывна на своей области определения , верно равенство.
lim(x(lnx+1)-lnx)=1
ln(limx(1+x)1/x=lne
limx0(ln(1+x)1/x)=1
15,Нера́венство Берну́лли утверждает: если , то
для всех
Доказательство проводится методом математической индукции по n.
При n = 0 неравенство, очевидно, верно.
Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1;
Неравенство справедливо также для вещественных (при )
Неравенство также справедливо для (при ), но указанное выше доказательство по индукции в случае не работает.
Число e может быть определено несколькими способами.
Через предел: (второй замечательный предел).
Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела