7 Способ решения на основе векторной формы неравенства Коши-Буняковского (вводится для школьников впервые)

Введем в рассмотрение при |x| < 1 два ненулевых вектора и (1; 1). Вычислим их скалярное произведение и длины: , . На векторном языке исходное иррациональное уравнение запишется в виде . В неравенстве Коши-Буняковского равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны, а для этого необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны. Для нахождения 1 < x < 1 имеем уравнение:

Ответ: x = / 2.

8 Способ решения методом рационализирующей подстановки Эйлера

Эвристическое правило. Если функция R(x, ) является рациональной относительно выражений x и , где а ≠ 0 и D = = b² –4ac > 0, то для её рационализации можно сделать подстановку Эйлера вида t = / (x – x₁), где x₁ – один из корней квадратного трёхчлена ax²+bx + c. Так как указанная подстановка при решении уравнения может приводить к потере корня x= x₁, то необходимо всегда проверять, является ли значение x= x₁ его корнем .

Рассмотрим два приёма (А,Б) рационализирующей подстановки Эйлера применительно к исходному уравнению.

A - приём. Для уравнения x + = с ОДЗ = [–1; 1] значения x = ±1 не являются корнями, и подстановка Эйлера t = не приведёт к потере корней. Причём при –1 < x < 1 x– 1 < 0, поэтому t < 0.

Выразим x и через t.

a) Для выражения через t < 0 имеем уравнение:

= tx – t | Т.к. х1<0 и t < 0, то t x – t > 0.| (t x – t)² = 1 – x² (t² + 1)x² 2t²x + (t²1) = 0 Итак, x =.

б) Выразим через t < 0 выражение = =

= . Для нахождения нового неизвестного t ( t< 0 ) имеем рациональное уравнение: – = (– 1)t² + 2t + +(+ 1) = 0 t² + 2t(+ 1) + (+ 1)² = 0 (t + (+ 1))² = 0 t = – (+ 1). Поэтому x = = / 2.

Ответ: x = / 2.

Б - приём. Покажем решение уравнения x + = , где 1 < x < 1, с помощью подстановки Эйлера вида t =, где t > 0 при x + 1 > 0. Выразим x и через t > 0.

а) Для –1 < x < 1 и t > 0 имеем уравнение:

= tx + t (tx + t)² = 1 – x² (t² + 1)x² + 2 t² x + (t² – 1) = 0

Итак, x = – .

б) Выразим через t > 0 выражение = = .

Для нахождения нового неизвестного t ( t> 0 ) имеем рациональное уравнение: (2t / (t² + 1)) - ((t² – 1) / (t² + 1)) = ( + 1)t² – 2 t + (– 1) = 0 (t – (– 1))² = 0 t = – 1. Поэтому x = –((–1)²–1)/(( - 1)²+1) = (2–)/ (2(2–))= /2.

Ответ: x = / 2.

IV этап урока (запасной). Повторение функционально-графического метода исследования иррациональных уравнений с параметром.

Задание для самостоятельной работы учащихся (два вариата).Сколько корней в зависимости от параметра а имеет иррациональное уравнение:

1 вариант. 2 вариант.

Упражнение целесообразно выполнить функционально-графическим методом в плоскости хОа с использованием приёма сечения графика функции а(х) семейством прямых а(х)=а₀ (const), параллельных оси Ох.

Методические материалы для учителя.

Задание 1. Функционально-графический метод решения представлен на слайде №3.

Ответ: 1) при решений нет,

1. при 1 корень,

2. при 2 корня.

Задание 2. Функционально-графический метод решения представлен на слайде №4.

1. Ответ: 1) при решений нет,

2. при 1 корень,

3. при 2 корня,

4. при 3 корня.

Методическое указание. При наличии учебного времени в процессе выполнения ниже представленных заданий учитель фронтально в форме катехизической беседы контролирует знания учащимися следующих положений и определений теоретических понятий, разработанных авторами современных учебников математики: С.М. Никольским, М.И. Башмаковым, Ю.М. Колягиным, А.Г. Мордковичем, Г.В. Дорофеевым, Ю.Н. Макарычевым, Н.Г. Миндюк, А.Р. Рязановским, Н.Н. Решетниковым, А.В. Шевкиным и др¹.

Определение 1. Уравнение f(x,a ) = 0 с параметром а – это семейство уравнений, определяемых параметром, от конкретных значений которого

зависит а) аналитический вид корней, б) количество корней, в) свойства корней. (Сформулированное определение позволяет констатировать наличие трёх основных типов задач на исследование уравнений с параметром.)

Определение 2. Параметр а в уравнении f(x,a) = 0 - это величина, численные значения которой заранее, до исследования, неизвестны, но от которых зависят аналитический вид корней, их свойства и количество (свойство двойственности параметра а).

Определение 3. ОДЗ уравнения f(x,a) = 0 с параметром а – это множество тех пар чисел (х; а), при которых выражение f(x,a) имеет смысл.

Определение 4. Решить уравнение f(x,a)=0 с параметром а – это значит для каждого допустимого значения параметра а установить соответствие вида х = х(а), с помощью которого для каждого значения параметра а указывается множество корней х данного уравнения.

Основной метод решения уравнения f(x,a) = 0 с параметром а – метод исчерпывающего перебора случаев, при котором область допустимого изменения параметра а разбивается на конечное число промежутков, в каждом из которых исследование уравнения может быть проведено одним и тем же приёмом, способом и приводит к одному и тому же аналитическому виду корней х=х(а) (а также их количеству или свойству).

Ответ при исследовании уравнения f(x,a) = 0 с параметром а – важная составная часть решения, состоящая из списка промежутков изменения параметра а с указанием для каждого из них аналитического вида корней х=х(а) (их количества или некоторого их свойства).

V этап урока. Постановка вариативного домашнего задания (метод распоряжения, четкого инструктажа). Его содержание может быть выражено следующими эпистемическими требованиями:

1. Повторите по учебному пособию Н.Я. Виленкина. Алгебра и математический анализ для 11 класса /Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2000. – С. 111-114.

2. Выполните, по меньшей мере, двумя методами следующие задания из учебного пособия: Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. сред. шк. /Б.М. Ивлев [и др.]. – М.: Просвещение, 1990. – С.20 №153 (а,б): для каждого действительного числа а найдите все решения уравнения:

а) Ответ: 1) при нет решений;

2) при ,

3) при ,

4) при .

б)

Ответ: 1) при решений нет,

2) при ,

3) при .

Заметьте, что в ответе к №153(б) есть опечатка.

3. Выполните задание С4 из демо-версии ЕГЭ-2003. Найдите все положительные значения параметра а, при которых в области определения функции

есть двузначные натуральные числа, но нет ни одного трёхзначного натурального числа.

Ответ: а(0,8; 0,98].

VI этап урока. Заключение урока (педагогические методы краткого обобщения, педагогической оценки и коррекции). Возможные аспекты гностической и рефлексивной активности преподавателя⁴⁾:

1. теоретико-прикладные итоги урока (основные и нестандартные методы решения иррациональных уравнений, их таксономия); дифференцированная оценка уровней ментального опыта учащихся⁵⁾: уровня усвоения ими темы, компетентности, качества устной и письменной математической речи (когнитивный аспект); уровня проявленного творчества (креативный аспект); уровня самостоятельности и рефлексии (метакогнитивный аспект); уровня инициативы, познавательного интереса к отдельным методам математического мышления (интенциональный аспект); уровней сотрудничества, интеллектуальной состязательности, стремления к высоким/ высшим показателям учебно-математической деятельности (акмеический аспект); культуры общения на уроке (коммуникативный аспект) и др.;

2. объявление аргументированных отметок, поурочного балла;

3. сбор тетрадей с домашней работой на выборочную или сплошную проверку.

Спасибо за урок, дети!

⁴⁾ Акмеология: учебник/ Под общ. ред. А.А. Деркача. – М.: Изд-во РАГС, 2002. –С.442-452 (Педагогическая акмеология); Кузьмина Н.В. Профессионализм деятельности преподавателя/ Н.В. Кузьмина. – М.: Высш. шк., 1989.-167с.

⁵⁾ Холодная М.А. Интеллектуальное воспитание личности в условиях современного школьного образования // Современная психология: Справочное руководство. – М.: ИНФРА-М, 1999. – С.668-680.

ФУНКЦИОНАЛЬНО_ГРАФИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ a В КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ xОa

СЛАЙД №3 к уроку алгебры и математического анализа в 11 классе (выполнен в компьютерной системе «Mathematica-5»).

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ а В ПЛОСКОСТИ xОa

Слайд №4 к уроку к уроку алгебры и математического анализа в 11 классе

1 А.Г. Мордкович. Алгебра. 8 кл.: Учебник для кл. с углубленным изучением математики. – М.: Мнемозина, 2002. – С.247-249; Алгебра и начала анализа: Учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2003. – С.342-343; Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для шк. и классов с углубл. изуч. математики /Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, под ред. Г.В. Дорофеева. – М.: Просвещение, 1996. – С.161, 191-192; А.Р. Рязановский. Алгебра и начала анализа: 500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в ВУЗы. – М.: Дрофа, 2001. – С.71 и др.