6.2. Свойства бинарных алгебраических операций
Условимся, чтобы
последующие соотношения выглядели
более привычно, результат применения
бинарной операции
к элементам а и b
записывать не в функциональном виде
,
а в виде
(как это принято в арифметических
операциях).
Определение: Ассоциативность.
Операция
называется ассоциативной,
если для любых элементов а, b,
с
.
Выполнение условия
ассоциативности означает, что скобки
в выражении
можно не расставлять.
Пример:
1. Сложение
и умножение
чисел ассоциативны, что позволяет не
ставить скобки в выражениях
и
.
2. Возведение
в степень
- не ассоциативна, так как
не равно
.
3. Композиция отображений – ассоциативная операция.
Определение: Коммутативность.
Операция
называется коммутативной,
если для любых элементов a,
b
.
Пример:
1. Сложение
чисел
коммутативно («от перемены мест слагаемых
сумма не меняется»):
.
Умножение чисел
коммутативно:
.
2. Вычитание и деление – некоммутативные операции.
Умножение матриц – некоммутативная операция, например:
,
но
.
Определение: Дистрибутивность.
Операция
называется дистрибутивной
слева
относительно операции
,
если для любых a,
b,
с
.
Операция
называется дистрибутивной
справа
относительно операции
,
если для любых a,
b,
с
.
Дистрибутивность разрешает раскрыть скобки.
Примеры:
1. Умножение дистрибутивно относительно сложения слева и справа
.
2. Возведение в степень дистрибутивно относительно умножения справа.
,
но не слева, так
как
не равно
.
3. Сложение не дистрибутивно относительно умножения
,
.
4. Операции
пересечения
и объединения
множеств дистрибутивны относительно
друг друга.
.
.
6.3.Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
Алгебры разного типа, очевидно, имеют существенно различное строение. Если же алгебры имеют одинаковый тип, то наличие у них сходства характеризуется с помощью вводимых ниже понятий гомоморфизма и изоморфизма.
Пусть даны две алгебры
и
одинакового типа,
т. е. арности
и
;
и
;
и
- одинаковы.
Определение:
Гомоморфизмом
алгебры А в алгебру В
называется отображение
,
удовлетворяющее условию:
[1]
для всех i
= 1, 2, ... , p,
арность операций
и
и всех
.
Смысл условия [1]:
Независимо от
того, выполнена ли сначала операция
в
множестве А и затем произведено
отображение Г, либо сначала произведено
отображение Г, а затем в множестве В
выполнена соответствующая операция
,
результат будет одинаков.
Определение:
Изоморфизмом
алгебры А на алгебру В
называется взаимно однозначный
гомоморфизм. В этом случае существует
обратное отображение
,
так же взаимно однозначное.
Пусть
.
Тогда
.
Заменим в [1] левые части этих равенств
на правые и применим
к обеим частям получившегося равенства.
Так как
,
то получим:
,
учитывая, что
,
,
,
получим
.
[2]
Равенство [2] – это
то же равенство [1] с заменой Г на
,
элементов множества K
на элементы множества М и переменой
местами
и
.
Иначе говоря,
- это изоморфизм В на А.
Утверждение 1:
Если существует изоморфизм А на В, то существует изоморфизм В на А; при этом алгебры А и В называются изоморфными.
Утверждение 2:
Мощности несущих множеств изоморфных алгебр равны (при гомоморфизме это равенство может не выполняться).
Определение: Автоморфизм на себя или автоморфизм – это гомоморфизм при условии, что А = В.
Определение:
Изоморфизм
в себя –
изоморфизм
.
Примеры:
-
Пусть
- множество всех целых чисел;
- множество всех
четных чисел:
а) алгебры
и
изоморфны. Изоморфизмом является
отображение
,
причем, условие [1] здесь имеет вид:
2 (a + b) = 2 a + 2 b.
Поскольку
,
то
- изоморфизм алгебры
в себя.
б) отображение
является для алгебры
автоморфизмом.
Условие [1] имеет вид:
- (a + b) = (-a) + (-b);
в) отображение
для алгебры
не является автоморфизмом, так как
.
2. Изоморфизмом
между алгебрами
и
является отображение
(
-
положительное подмножество R).
Условие [1] имеет вид равенства:
.
3. Булевы алгебры
и
,
образованные двумя различными множествами
U
и
одинаковой мощности, изоморфны. Операции
у них просто одинаковы, а отображением
Г может служить любое взаимно однозначное
соответствие между U
и
.
Утверждение 3:
Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр:
- рефлексивность отношения изоморфизма очевидна;
- симметричность следует из существования обратного изоморфизма;
- транзитивность
устанавливается следующим образом:
если
- изоморфизм А на В,
- изоморфизм В на С, то изоморфизмом А
на С будет композиция
и
.
Классами эквивалентности в разбиении по отношению изоморфизма являются классы изоморфных между собой алгебр. Понятие изоморфизма – одно из важнейших в математике. Его сущность, как видно из примеров можно выразить так: если алгебры А и В изоморфны, то элементы и операции в В можно переименовать так, что В совпадет с А.
Из условия [1]
изоморфизма следует, что любое
эквивалентное соотношение в алгебре А
сохраняется в любой изоморфной ей
алгебре
.
Это позволяет получить такие соотношения
в алгебре А и автоматически распространить
их на все алгебры, изоморфные А.
Распространенное в математике выражение
«рассматривать с точностью до изоморфизма»
означает, что рассматриваются только
те свойства объектов, которые сохраняются
при изоморфизме, т. е. являются общими
для всех изоморфных объектов.
В частности, изоморфизм сохраняет ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность.