- •Раздел 5 основы дифференциального исчисления
- •Глава 9. Производная функции
- •9.1. Определение производной.
- •9.2. Связь между непрерывностью и существованием производной
- •9.3. Таблица производных
- •9.4. Правила вычисления производной
- •9.5. Производные высших порядков
- •Глава 9
- •Глава 10. Приложения производной
- •10.1. Свойства дифференцируемых функций
- •10.2. Правило Лопиталя
- •10.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции
- •10.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •10.5. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
- •10.6. Асимптоты графика функции
- •10.7. Общая схема исследования функций и построение их графиков
- •Глава 10
- •Глава 11. Дифференциал функции
- •11.1. Понятие дифференциала функции
- •11.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •Глава 11
-
Раздел 5 основы дифференциального исчисления
Глава 9. Производная функции
9.1. Определение производной.
Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
. |
(9.1) |
Наряду с обозначением для производной употребляются также обозначения: , , .
Пример 9.1. Рассмотрим функцию с областью определения и произвольное значение аргумента х. Пусть х получает приращение . В точке х функция принимает значение , в точке значение . Приращение функции имеет вид
.
Тогда отношение приращения функции к приращению аргумента равно
.
По определению
.
Производная является функцией от х. В каждой конкретной точке х производная – это число. Например, если , то .
Процесс нахождения производной от данной функции называется ее дифференцированием.
Пусть S(t) – путь, пройденный телом к моменту времени t. Скорость тела в точке t равна
,
т.е. производной от пройденного пути по времени.
Если Q – количество вещества, участвующего в данной химической реакции к моменту времени t, то
является скоростью изменения количества вещества.
Рассуждая подобным образом, приходим к выводу, что для любой функции y(x) ее производная равна скорости изменения этой функции. В этом заключается механический смысл производной.
Касательной k к кривой в точке М (рис. 9.1) называется предельное положение секущей , когда точка по кривой стремится к точке М.
x+Δx
Рассмотрим функцию в некоторой точке х (рис. 9.2). Перейдем от точки х к новой точке , равно приращению функции , . Из получаем
,
т.е. –тангенс угла наклона секущей к оси Ох. Пусть . Тогда точка стремится к точке М и, следовательно, стремится к , где – угол наклона касательной к прямой в точке М.
Так как , то при , стремящемся к нулю, отношение стремится к , или
.
Таким образом, .
Следовательно, значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в данной точке. В этом состоит геометрический смысл производной.
Знание геометрического смысла производной позволяет построить уравнение касательной к данной линии в данной точке
. (9.2)
Нормалью линии в данной точке называется перпендикуляр к касательной в точке . Уравнение нормали
. (9.3)
Пример 9.2. Напишем уравнение касательной и нормали к параболе в точке . (рис. 9.3). При , , т.е. касательную и нормаль проводим в точке .
Вычисляем угловой коэффициент касательной. Производная функции равна . В точке имеем . Следовательно, . Согласно формуле (9.2), уравнение касательной принимает вид . Преобразовывая, получаем . Для того, чтобы написать уравнение нормали, используем формулу (9.3). Уравнение нормали имеет вид , преобразовывая, получаем .