- •Раздел 6 основы интегрального исчисления
- •Глава 12. Неопределенный интеграл
- •12.1. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл
- •12.2. Свойства неопределенного интеграла
- •12.3. Таблица интегралов
- •12.4. Методы интегрирования
- •Метод разложения
- •Замена переменной интегрирования
- •Интегрирование по частям
- •12.5. Интегрирование рациональных дробей
- •12.6. Интегрирование некоторых видов иррациональностей
- •Глава 12
- •Глава 13. Определенный интеграл
- •13.1. Понятие определенного интеграла
- •13.2. Формула Ньютона — Лейбница
- •13.3. Свойства определенного интеграла
- •13.4. Замена переменной под знаком определенного интеграла
- •13.5. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •13.6. Приложения определенного интеграла
- •Глава 13
- •Глава 14. Несобственные интегралы
- •14.1. Несобственные интегралы I рода
- •14.2. Несобственные интегралы II рода
- •Глава 14
-
Раздел 6 основы интегрального исчисления
Глава 12. Неопределенный интеграл
12.1. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл
Рассмотрим задачу нахождения функции по ее производной.
Функция называется первообразной для функции на не-
котором интервале, если на этом интервале выполняется .
Пример 12.1. Функция является первообразной функции на всей числовой оси, так как для любого х выполняется равенство . Вместе с функцией первообразной для является и любая функция , где С – произвольная постоянная.
Теорема. Если является первообразной для функции , то всякая функция , где С – произвольное постоянное число, также является первообразной для .
Доказательство. Найдем производную
.
Отсюда следует, что – первообразная.
Теорема. Две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную величину.
Доказательство. Пусть и – две первообразные для функции . Рассмотрим разность .
Найдем . По следствию из теоремы Лагранжа (п. 10.1) , следовательно,
.
Из данных теорем следует, что зная одну первообразную для функции , можно получить все ее первообразные, прибавляя к всевозможные постоянные.
Множество функций , где С – произвольная постоянная, представляет собой семейство первообразных данной функции, графики которых являются параллельными линиями (рис.12.1).
Рис. 12.1
Семейство первообразных называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .
Функция называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования, знак – знаком интеграла.
Таким образом,
, |
(12.1) |
где , С – сonst.
Операция нахождения первообразной для данной функции называется неопределенным интегрированием. Дифференцирование и интегрирование – это две взаимно обратные операции.
Достаточным условием интегрируемости функции на некотором интервале является непрерывность этой функции на данном интервале.
12.2. Свойства неопределенного интеграла
-
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
.
-
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
.
-
Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла
. |
(12.2) |
-
Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций
. |
(12.3) |
12.3. Таблица интегралов
|
|
12.4. Методы интегрирования
-
Метод разложения
Метод разложения связан с приведением подынтегрального выражения к табличной форме путем алгебраических преобразований и применения свойств неопределенных интегралов.
Пример 12.2.
.
Пример 12.3.
Пример 12.4.
Пример 12.5.
Пример 12.6.
.
Пример 12.7.
.
-
Замена переменной интегрирования
Сделаем подстановку , где – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда , и
, |
(12.4) |
Формула (12.4) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Вместо подстановки иногда удобно применять подстановку .
При замене переменной удобно пользоваться следующими правилами:
-
Если интеграл является табличным, то интеграл может быть найден с помощью подстановки , т.к. , следовательно, и
. |
(12.5) |
Пример 12.8. Вычислим интеграл . Делаем подстановку и находим . Отсюда
.
Пример 12.9. Вычислим интеграл . Делаем подстановку: и находим , откуда . Данный интеграл запишется в виде
.
Пример 12.10. Вычислим интеграл . Делаем подстановку: и находим , откуда . Данный интеграл запишется в виде
.
Пример 12.11. Вычислим интеграл . При интегрировании дробей вида в квадратном трехчлене выделяется полный квадрат некоторого линейного выражения, а затем осуществляется замена этого выражения на новую переменную .
.
Здесь , .
-
Если подынтегральная функция является произведением двух множителей, один из которых зависит от некоторой функции , а другой является производной этой функции (с точностью до постоянного множителя), то нужно применять подстановку .
Пример 12.12. Вычислим интеграл . Делаем подстановку и находим . Данный интеграл запишется в виде
.
Пример 12.13. Вычислим интеграл . Заменяем и находим . Интеграл примет вид
.
Пример 12.14. Вычислим интеграл . Делаем замену и находим . Интеграл примет вид
.