- •3)Доверительный интервал для математического ожидания
- •6)Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
- •7)Проверка гипотезы о равенстве средних (независимые выборки)
- •8)Проверка гипотезы о равенстве средних значений
- •9)Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормальных совокупностей
- •10)Таблицы наблюдений
- •11)Метод наименьших квадратов
- •12)Элементы регрессионного анализа
- •13)Доверительный интервал для линейной регрессии
- •14)Критерий хи-квадрат
- •15)Критерий независимости признаков
- •16)Критерий Вилкоксона проверки однородности выборок
- •17)Закон Мальтуса.
- •19)Обобщенная логистическая популяция
- •20)Фазовый портрет автономной линейной системы второго порядка
- •21)Система «хищник – жертва».
- •23)Процесс выживаемости популяций
- •24)Ориентированные графы
- •25)Примеры орграфов.
- •26)Динамика развития орграфа
1)Результаты наблюдений, записанные в порядке возрастания вариант:
называются вариационным рядом.
Последовательность чисел называется статистическим рядом и записывается в виде таблицы.
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
. . . |
|
Для непрерывных признаков и при большом объеме выборки данные группируются, и результаты представляются в виде интервального статистического ряда.
2)Статистической оценкой математического ожидания называется среднее арифметическое элементов выборки, которая называется выборочное среднее и обозначается .
Для выборки объемом n, заданной вариационным рядом :
.
Для определения рассеяния значений признака около математического ожидания рассматривается параметр, который называется дисперсией распределенияD(X) (генеральной дисперсией) и который определяетсяпо формуле:
Оценки дисперсии и
среднеквадратичного отклонения
Для выборки статистическая оценка дисперсии, удовлетворяющая требованиям состоятельности и несмещенности, имеет вид
, (4)
Среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение) оценивается величиной
, (5)
которая называется выборочным стандартным отклонением. Тем самым
и .
3)Доверительный интервал для математического ожидания
Случай известной дисперсией
Условие (1) для математического ожидания принимает вид
(2)
Для нормального распределения
. (3)
Из (2) и (3) имеем уравнение для определения d
. (4)
Введем обозначение: .
Тогда
.
Значение определяется по таблице 2 значений функции Лапласа.
Например, для и в таблице 2 находим:
|
|
1,96 |
0,4750 |
Следовательно,.
После определения определяем точность оценки по формуле:
(5)
и границы доверительного интервала:
и (6)
Таким образом, с надежностью доверительный интервал содержит в себе генеральное среднее (математическое ожидание) а.
Оценка достоверности различий между результатами измерений и фиксированной величиной с помощью доверительного интервала
В практической деятельности по контролю состояния окружающей среды нередко возникает необходимость сравнить результаты измерений с какой-либо заданной фиксированной величиной. Наиболее типичный случай – сравнение с величиной предельно допустимой концентрации (ПДК) загрязняющего вещества в объектах окружающей среды.
Пусть фиксированная величина – ПДК, тогда
если > ПДК ПДКпревышена (с надежностью ):
если < ПДК ПДК не превышена (с надежностью ):
если <ПДК < различия между и ПДК недостоверны (с надежностью ):
.
В% случаев наши выводы могут оказаться неверными.
4)Случай больших выборок.
Приведенные выше расчеты доверительного интервала применяются и в случаях с неизвестной дисперсии, но только если объем выборок , т.е. в случаях больших выборок.
В этом случае в формулах (3) и (4) вместо используется его вычисленная по выборке несмещенная оценка , т.е. считаем, что .
Минимальный объем выборки.
Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью оценки d и надежностью , то из формулы (3) получим формулу для минимального объема выборки, который обеспечит эту точность:
.
5)Статистической гипотезой называется предположение о виде распределения или о параметрах известных распределений.
Ошибки принятия гипотез
Ошибка 1 рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.
Ошибка 2 рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.
|
принимается |
отвергается |
верна |
Решение правильное |
Ошибка 1 рода |
неверна |
Ошибка 2 рода |
Решение правильное |
Вероятность допустить ошибку 1 рода называют уровнем значимости.
Вероятность задается заранее, при этом обычные значения : 0,1; 0,05; 0,005; 0,001.
6)Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, методов измерений, технологий.
Очевидно, предпочтительнее взять тот прибор, инструмент и т.п., который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.
Проведем измерения на двух приборах.
Пусть все возможные измерения первым прибором − Х и этим прибором проведено измерений, и по ним вычислена − оценка .
Пусть все возможные измерения вторым прибором − Y и этим прибором проведено измерений, и по ним вычислена − оценка , причем .
Требуется по выборочным средним и заданном проверить значимость этого различия.
Краткое условие:
Х: ,
Y: , причем .
Сформулируем гипотезу:
Зададим или в зависимости от конкретной задачи.
Вычислим
,
где - большая дисперсия, а - меньшая дисперсия.
Соответствующая случайная величина F − статистический критерий данной задачи − имеет распределение Фишера – Снедекора.
Если , то выборочное значение критерия
.
Критическая область - правосторонняя.
Для определения найдем степени свободы:
,
где - объем выборки с большей дисперсией
- объем выборки с меньшей дисперсией .
Критические значения распределения Фишера представлены в таблице 7 или .