1. Изображение малых предметов при преломлении на сферической поверхности

Представим сферическую поверхность, около центра которой расположена небольшая диафрагма DD. Параксиальный гомоцентрический пучок после преломления остается гомоцентрическим, т. е. дает изображение своей вершины. Соответствующим образом изобразится любая точка светящейся дуги АСВ (или части сферы) (рис. 1.11) с центром в О.

Рис.11

Применим формулу .

Т. к. для всех точек АСВ все а₁ имеют одно и то же значение, то и все а₂ одинаковы; элемент сферы с радиусом R - а₁ отобразится в виде элемента сферы с радиусом а₂ - R с общим центром О. Для графического отыскания точки В', например, можно провести луч ВМ║СО; тогда преломленный луч должен пройти через фокус F₂; луч же ВО проходит без преломления. Пересечение продолжений MF₂ и ВО и определит положение В'.

Т.к. АВ и А'В' очень малы, вместо дуг (элементов сферы) можно брать хорды (элементы плоскости). Таким образом, в сферической системе малая площадка, перпендикулярная к оси, изобразится при помощи параксиальных лучей в виде площадки, также перпендикулярной к той же оси.

Плоскость предмета АВ и плоскость его изображения А'В' называются плоскостями, сопряженными по отношению к данной оптической системе.

2. Увеличение. Теорема Лагранжа – Гельмгольца

Пусть А₁В₁ предмет перпендикулярный к оси. Построим его изображение А₂В₂ (рис. 12). Отношение линейных размеров изображения (у₂ = А₂В₂) и предмета (у₁ = А₁В₁) носит название линейного или поперечного увеличения . Приписывая А₁В₁ и А₂В₂ знаки (как обычно в геометрии), получим, что увеличение положительно, если изображение прямое, и отрицательно, если изображение перевернутое. Из треугольников А₁В₁S и A₂B₂S имеем , .

Рис.12

При малых размерах А₁В₁ и А₂В₂ ,

т.е. или . (11)

Т.к. п₁ и п₂ всегда положительны, то знак V определится знаком отношения . Для действительного изображения (рис. 12), а₁ и а₂ имеют разные знаки, т. е. V отрицательно, и изображение перевернутое; для мнимых изображений – наоборот.

Для зеркал , т. е. . В случае действительного изображения a₁ и а₂ имеют одинаковые знаки, т. е. V < О и изображение перевернутое; в случае мнимого изображения знаки a₁ и а₂ различны, V > 0, изображение прямое. Для плоского зеркала (а₂ = - а₁) , т. е. изображение прямое и натуральной величины.

Сопряженные плоскости называются главными, если для них V = 1, т. е. изображение получается прямым и в натуральную величину объекта. Для сферической поверхности главные плоскости совпадают между собой и представлены плоскостью, касательной к сфере в точке S, т. е. а₁ = а₂ = 0. В соответствии с этим и фокусные расстояния сферической поверхности следует считать расстояниями от главных плоскостей до фокусов.

Углы u₁ и u₂ рис. 12 определяют максимальное раскрытие (апертуру) пучков, падающих на поверхность Σ (угол 2и₁), и сопряженных им изображающих пучков (угол 2и₂). Предельное значение этих углов определяется требованием соблюдения условий параксиальности.

Для параксиальных лучей A₁P ≈ A₁S = а₁ и РА₂ ≈ SA₂ = a₂, так что , , .

На основании (11) имеем или

(12)

Соотношение (12) носит название теоремы Лагранжа – Гельм-гольца.

Т.е. не только изображение точки на оси, но и изображение небольшого предмета, расположенного около оси, передается параксиальным пучком без искажения.

Это соотношение справедливо для области параксиальных лучей. При употреблении пучков со значительной апертурой получение четких изображений возможно лишь при выполнении условия

(13)

Т.е. преобразование данного оптического пучка при помощи оптической системы в другой пучок любого наперед заданною строения невозможно. Строение преобразованного пучка может быть только таким, какое допускает условие Лагранжа— Гельмгольца.

3. Центрированная оптическая система

Система сферических поверхностей называется центрированной, если центры всех поверхностей лежат на одной прямой (рис. 13), которая называется главной оптической осью системы.

Рис.13

Гомоцентрический параксиальный пучок остается гомо-центрическим при произвольном числе преломлений (и отражений) в центрированной сферической системе. Точка L₁ дает в центрированной системе стигматическое изображение (действительное или мнимое).

Небольшой участок плоскости, расположенный в первой среде перпендикулярно к оптической оси центрированной системы, изобразится в последней преломляющей среде сопряженной плоскостью, также перпендикулярной к оптической оси, причем изображение остается геометрически подобным объекту. Наличие двух фокусов и двух фокальных поверхностей, установленное для одной сферической поверхности, сохраняется также и для всякой центрированной системы поверхностей.

Для центрированной системы поверхностей сохраняет силу и теорема Лагранжа — Гельмгольца, т. е.

Для центрированной системы сохраняет смысл и понятие главных плоскостей как таких сопряженных плоскостей, в которых объект и изображение имеют одинаковые величину и направление. Но в то время как для одной преломляющей сферической поверхности обе главные плоскости сливались в одну, касающуюся сферической поверхности в ее вершине S, для центрированных поверхностей эти две плоскости, вообще говоря, не совпадают. Фокусные расстояния системы, так же как и в случае одной сферической поверхности, есть расстояния от соответствующей главной плоскости до фокуса.

Физические основы оптических систем связи

Лекция 4

Вопросы

1. Преломление в линзе. Общая формула линзы

2. Фокусные расстояния тонкой линзы

3. Изображение в тонкой линзе. Увеличение

1. Преломление в линзе. Общая формула линзы

Центрированная система, состоящая всего из двух сферических поверхностей, ограничивающих какой-либо прозрачный хорошо преломляющий материал (обычно стекло) от окружающего воздуха называется линзой.

Линза называется тонкой, если толщина линзы d мала по сравнению с R₁ и R.₂, радиусами кривизны ограничивающих поверхностей.

Для тонкой линзы точки S₁ и S₂ сливаются в т. S. Точка S носит название оптического центра линзы. Любой параксиальный луч, проходящий через S, практически не испытывает преломления. Для таких лучей участки обеих поверхностей линзы можно считать параллельными, так что луч, проходя через них, не меняет направления, но лишь смещается параллельно самому себе (преломление в плоскопараллельной пластинке), а так как толщиной линзы мы пренебрегаем, то смещение это ничтожно и луч практически проходит без преломления. Луч, проходящий через оптический центр, назовем осью линзы. Та из осей, которая проходит через центры обеих поверхностей, называется главной, остальные – побочными.

Рис.14

Преломление на первой сферической поверхности создало бы в сплошном стекле с показателем преломления п изображение С на расстоянии SC = а от вершины, так что ,

где a₁ = SA₁, R₁ – радиус кривизны первой поверхности линзы.

Для второй поверхности С является как бы мнимым источником света. Построение изображения этого источника после преломления на второй поверхности линзы даст точку В на расстоянии от линзы. Здесь опять применима формула , где R₂ – радиус второй поверхности.

Складывая уравнения * и ** с учетом получим:

или, вводя относительный показатель преломления N = п/п₁ получим (14)

Эта общая формула справедлива для всех видов линз. Нужно только принять во внимание знаки а₁, а₂, R₁, R₂, считая их положительными, если они отложены вправо от линзы, и отрицательными, если они отложены влево от линзы. Если знаки а₁ и а₂ одинаковы, то одна из сопряженных точек – мнимая, т.е. в ней пересекаются не сами лучи, а их воображаемые продолжения.

2. Фокусные расстояния тонкой линзы

Положение изображения, соответствующее предельному случаю, когда источник удален в бесконечность, носит название фокуса линзы. Таким образом, фокус есть точка, сопряженная бесконечно удаленной точке главной оси, или, что то же, – место схождения лучей, параллельных главной оптической оси. Расстояние от линзы до фокуса есть фокусное расстояние тонкой линзы. Плоскость проходящая через фокус перпендикулярно к главной оси, называется фокальной плоскостью. Если лучи идут из бесконечности параллельным пучком, но под углом к главной оси (вдоль побочной оси), то они пересекаются в соответствующей точке А фокальной плоскости (рис. 15). Таким образом, фокальная плоскость есть плоскость, сопряженная бесконечно удаленной плоскости.

Рис.15

При , (15)

при . (16)

т.е. .

Итак, фокусные расстояния линзы равны по величине и противоположны по знаку, т.е. фокусы лежат по разные стороны от линзы.

Если фокусы действительны, т.е. параллельные лучи после преломления в линзе сходятся, то линза называется собирательной или положительной (рис. 1.16.а). При мнимых фокусах параллельные после преломления в линзе становятся расходящимися. Поэтому такие линзы называются рассеивающими или отрицательными (рис.16.б).

Рис.16

При введении фокусных расстояний, формула линзы примет вид.

.

Зависимость между a₁ и а₂ графически изображена на рис. 17. Изменение величины а₁ приводит к изменению а₂ того же знака. Т.е. изображение сдвигается вдоль оси в том же направлении, что и объект. Исключение составляет лишь точка а₁ = f₁ при прохождении которой изображение переходит из .

Рис.17

3. Изображение в тонкой линзе. Увеличение

Поскольку доказано, что для параксиальных лучей изображение точки стигматично (т. е. гомоцентричность пучка сохраняется), то для построения ее изображения достаточно найти точку пересечения каких-либо двух лучей.

Рис.18

1. Луч CF₂B₂, сопряженный с лучом В₁С, параллельным главной оптической оси; этот луч проходит через задний фокус F₂.

2. Луч DB₂, параллельный главной оптической оси и сопряженный с лучом B₁F₁D, проведенным через передний фокус F₁.

3. Луч вдоль побочной оптической оси B₁SB₂ проходит через оптический центр линзы (точку S), – он идет, не преломляясь.

Всякий другой луч, идущий из В₁ нужно было бы . строить при помощи закона преломления, что гораздо сложнее. Но из свойства гомоцентричности следует, что после выполнения построения любой преломленный луч пройдет через точку В₂. Так как построение изображения точки В₂ сводится к геометрической задаче отыскания точки В₂, то нет надобности, чтобы выбранные простейшие пары лучей имели реальный характер рис.19.

Определим поперечное увеличение, как .

Из рис. 18

Рис.19

. (17)

Аналогично для действительных изобажений V < 0, т.е. изображение обратное, а для мнимых V > 0, т. е. изображение прямое.

Главными плоскостями линзы, как и всякой системы, являются те сопряженные плоскости, для которых V = 1. Для тонкой линзы эти плоскости сливаются в одну, проходящую через оптический центр перпендикулярно к оптической оси (т. е. a₁ = a₂ = 0). Таким образом, фокусные расстояния линзы, которые должны отсчитываться от главных плоскостей, в случае тонкой линзы могут отсчитываться от ее поверхности.

Оптической силой называется величина, обратная заднему фокусному расстоянию линзы. Если фокусное расстояние измерять в метрах, то оптическую силу принято выражать в диоптриях, считая ее положительной или отрицательной в зависимости от того, собирающая линза или рассеивающая.

Физические основы оптических систем связи

Лекция 5

Вопросы

1. Идеальные оптические системы

1. Идеальные оптические системы

Гаусс (1841 г.) дал общую теорию оптических систем. Теория Гаусса есть теория идеальной оптической системы, т. е. системы, в которой сохраняется гомоцентричность пучков и изображение геометрически подобно предмету. Т.е. всякой точке пространства объектов соответствует в идеальной системе точка пространства изображений; эти точки носят название сопряженных. Точно так же каждой прямой или плоскости пространства объектов должна соответствовать сопряженная прямая или плоскость пространства изображений. Таким образом, теория идеальной оптической системы есть чисто геометрическая теория, устанавливающая соотношение между точками, линиями, плоскостями.

Идеальная оптическая система может быть осуществлена с достаточным приближением в виде центрированной оптической системы, если ограничиться областью вблизи оси симметрии, т. е. параксиальными пучками. В теории Гаусса требование «тонкости» системы отпадает, но лучи по-прежнему предполагаются параксиальными.

Линия, соединяющая центры сферических поверхностей, представляет собой ось симметрии центрированной системы и называется главной оптической осью системы. Теория Гаусса устанавливает ряд так называемых кардинальных точек и плоскостей, задание которых полностью описывает все свойства оптической системы и позволяет пользоваться ею, не рассматривая реального хода лучей в системе.

Пусть ММ и NN – крайние сферические поверхности, ограничивающие нашу систему, и О₁О₂ – ее главная ось (рис. 20). Проведем луч A₁B₁ параллельный О₁О₂; точка В₁ есть место входа этого луча в систему. Согласно свойству идеальной системы лучу А₁В₁ соответствует в пространстве изображений сопряженный луч G₂F₂, выходящий из системы в точке G₂. Второй луч P₁Q₁ выберем вдоль главной оси. Сопряженный ему луч Q₂P₂ будет также идти вдоль главной оси. Точка F₂ как пересечение двух лучей G₂F₂ и Q₂P₂ есть изображение точки, в которой пересекаются лучи А₁В₁ и P₁Q₁ , сопряженные с G₂F₂ и Q₂P₂ . Но так как А₁В₁ || P₁Q₁ , то точка, сопряженная с F₂, лежит в бесконечности. Таким образом, F₂ есть фокус (второй, или задний) нашей системы. Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно к оси, носит название фокальной.

Рис.20

По аналогии F₁ - передний фокус системы, причем точка G₁ есть точка выхода луча, сопряженного с А₂В₂. R₁ и R₂ пересечения с продолжений F₁G₁ и F₂G₂ с А₁В₁ и А₂В₂. R₁ и R₂ – сопряженные точки. Из построения следует, что R₁ и R₂ лежат на одинаковом расстоянии от главной оси, т. е. H₁R₁ = H₂R₂, или линейное поперечное увеличение равно

.

Любая точка линии H₁R₁ сопряжена с точкой линии H₂R₂, лежащей на такой же высоте от О₁О₂. То же относится и к плоскостям, проведенным через H₁R₁ и H₂R₂ перпендикулярно к главной оси.

Плоскость H₁R₁ изображается на H₂R₂ прямо и в натуральную величину. Такие плоскости называются главными плоскостями. Точки H₁ и H₂ пересечения главных плоскостей с осью носят название главных точек системы. Расстояния от главных точек до фокусов называются фокусными расстояниями системы f₁ = H₁F₁ и f₂ = H₂F₂.

Рис.21

Определяя положение сопряженных точек их расстояния (а₁ и а₂) от соответствующих главных плоскостей и сохраняя правило знаков легко найти ряд соотношений, определяющих положение сопряженных точек в данной системе и играющих роль формул системы.

, (18)

где и – расстояния сопряженных точек от соответствующих фокусов. Если (источник и его изображение лежат в одной среде) (19)

Пользуясь правилом знаков, мы можем описать все свойства как собирательных, так и рассеивающих систем, ввести понятие мнимых точек и мнимых изображений и т. д.

Главные плоскости и главные точки могут лежать как внутри, так и вне системы совершенно несимметрично относительно поверхностей, ограничивающих систему.

Рис.22

Под угловым увеличением W понимают отношение тангенсов углов и₂ и u₁ составляемых сопряженными лучами А₂М₂ и А₁М₁ с оптической осью (рис. 23), т. е. .

Рис.23

Из рис. 23 видно, что (ибо Н₁М₁ = H₂M₂), тогда как линейное

увеличение , т. е. .

Для случая, когда предмет и изображение расположены в одной среде

WV=1.

Угловое и линейное увеличение системы различно для разных точек оси; причем, чем больше линейное увеличение, тем меньше угловое.

Сопряженные точки, в которых угловое увеличение W = 1 представляют собой особенные точки системы. Эти точки называются узлами (или узловыми точками) и характеризуются тем, что сопряженные лучи, проходящие через узлы, параллельны друг другу, т.к. u₁ = u₂. В каждой системе такой парой точек будут точки N₁ и N₂, отстоящие от первого и второго фокусов соответственно на расстояния, равные второму и первому фокусным расстояниям (рис. 24.), т. е. и .

Рис.24.

Легко видеть, что точки N₁ и N₂ – сопряженные, ибо их координаты удовлетворяют уравнению (18) системы . Их расстояния относительно главных плоскостей равны соответственно и т. е. и, следовательно, для этих точек .

Физические основы оптических систем связи

Лекция 6

Вопросы

1. Идеальные оптические системы (продолжение)

Плоскости, проходящие через узлы перпендикулярно к оптической оси, называются узловыми плоскостями. Шесть плоскостей (две фокальные, две главные и две узловые) и шесть точек главной оси, им соответствующие (фокусы, главные точки, узлы), называются кардинальными плоскостями и точками (рис.25).

Когда по обе стороны системы располагается одна и та же среда фокусные расстояния . Узловые точки теперь сливаются с главными, т.к. и система характеризуется положением всего лишь четырех точек и плоскостей.

Рис. 25

Зная свойства кардинальных плоскостей и точек, можно без труда построить изображение в любой системе, пользуясь двумя лучами, исходящими из одной точки. В частности, для линз отпадает требование тонкости. Рис. 26 показывает, как можно построить изображение в толстой линзе, если дано расположение ее главных плоскостей и фокусов. На рис. 26 проведены лучи, построение которых особенно просто определяет положение точки В', сопряженной с точкой В. В силу гомоцентричности пучка любой другой луч из В пройдет через В'.

Рис.26

Луч 1, проведенный параллельно главной оси, имеет в качестве сопряженного луч 1', пересекающий вторую главную плоскость на высоте и проходящий через фокус F₂.

Луч 2 идущий через узел N₁ имеет сопряженный луч 2', проходящий через второй узел параллельно лучу 2.

Луч 3, проходящий через фокус F₁ и пересекающий главную плоскость на высоте H₁C₁, пройдет на той же высоте (H₂C₂ = H₁C₁) через вторую главную плоскость и пойдет параллельно главной оси. Для построения изображения можно ограничиться двумя лучами из трех.

Тонкая линза может рассматриваться как частный случай толстой линзы, в которой точки H₁ и H₂ совпадают и главные плоскости сливаются. Узловые точки, совмещенные с H₁ и H₂, также совпадут, образуя оптический центр линзы.

Обычно приходится иметь дело с изображением пространственных предметов, отдельные точки которых лежат на разных расстояниях от главной плоскости. Поэтому рационально ввести еще и продольное увеличение (U), показывающее отношение длины изображения Δх₂ к длине изображаемого малого отрезка Δх₁ если последний расположен вдоль оси. Понятно, что приходится говорить об увеличении малых по длине отрезков, ибо продольное увеличение для разных точек оси различается очень значительно.

.

Выражение для U легко найти, пользуясь формулами (18).

Имеем ,

или ,

т.к. и .

Сопоставляя значения U, V и W, находим

, и, следовательно, (1.20)

Поперечное увеличение V важно для характеристики систем, проектирующих изображение на экран или фотопластинку (проекционные и фотографические объективы).

Угловое увеличение W важно при рассматривании удаленных объектов, когда стремятся увеличить угловые размеры рассматриваемых объектов (телескопические системы).

Продольное увеличение U характеризует резкость изображения пространственного объекта на экран (так называемую «глубину оптической системы»). Оно всегда положительно, т. е. Δх₁ и Δх₂ совпадают по направлению.

Система оказывается полностью заданной, если известно взаимное расположение четырех кардинальных точек. Существует несколько методов нахождения кардинальных точек. Один из них состоит в последовательном расчете хода лучей, падающих на систему слева и справа параллельно оси. При этом к каждой преломляющей поверхности применяется формула (4) или (5) . Сущность другого, более употребительного метода. Пусть даны две оптические системы и для них известны фокусные расстояния и положения главных точек, причем обе системы расположены на общей оси на некотором известном расстоянии друг от друга; тогда можно вычислить фокусные расстояния и положения кардинальных точек сложной системы, состоящей из этих систем. Таким образом, если сложная система состоит из двух или большего числа подсистем с известными кардинальными точками, то производя описанный процесс сложения несколько раз, можно определить параметры системы в целом.

Снабдим индексами 1 и 2 величины, относящиеся к двум подсистемам, причем штрихованные величины соответствуют пространству изображений, а нештрихованные – пространству объектов.

Рис.27.

Пусть даны две толстые линзы. Они расположены так, что оси их совпадают и расстояние между фокусами равно Δ. Определим фокусное расстояние f полученной сложной системы.

Луч SD, параллельный оси системы, выходит из нее по GF. Т.е. точка F есть передний фокус системы; плоскость ММ, пересекающая луч GF на высоте луча SD, есть передняя главная плоскость и H – главная точка. Для построения луча GF используем свойства главных точек составляющих систем (F₁, Н₁, Н₁’, F₂, Р₂, Н₂, Н₂’, F₂’). Лучи из точки С, лежащей в фокальной плоскости первой системы, должны выходить из этой системы параллельно друг другу, т. е. BF₁ параллельно GFA.

Фокусное расстояние системы f = HF. Из оптической схемы

т.к. (21)

Аналогично для второго фокусного расстояния найдем:

.

При Δ = 0 получим , т. е. телескопическую систему: параллельные лучи, проходя через эту систему, выходят вновь параллельным пучком.

При совпадении главных плоскостей Н₁’ и Н₂, т. е. при и при условии, что , имеем (22)

т. е. оптическая сила соприкасающихся линз равна сумме оптических сил составляющих.

Передний фокус F сложной системы сопряжен относительно первой линзы с точкой F₂ (луч F₂EGF). Расстояние х_F от F₁ до F находим с помощью формулы (18) (23)

Аналогично для расстояния х'_F’ от F₂’ до F’ имеем .

Положения главных плоскостей Н и Н' относительно фокусов F₁ и F₂’ соответственно определяются очевидными равенствами: .

Если принять за составляющие системы две преломляющие поверхности и воспользоваться формулами (6 - 8), то легко найти ее фокусное расстояние

Когда толщина линзы d мала в сравнении с R_l, R₂, последний член в этом выражении можно отбросить, и мы приходим к формуле для тонкой линзы. Если же d достаточно велика, фокусное расстояние линзы существенно зависит от ее толщины. В частности, можно, очевидно, подобрать условия, когда , т. е. толстая линза оказывается телескопической системой, увеличение которой определяется отношением .

Физические основы оптических систем связи

Лекция 7

Вопросы

1. Отражение и преломление света на границе двух диэлектриков. Формулы Френеля