Теорема Пуассона.
В
условиях
схемы Бернулли, т.е. при проведении n
независимых испытаний с двумя исходами,
в каждом из которых вероятность появления
события А
постоянна и равна p
(0 < p
<
1), а вероятность появления противоположного
события А
равна q
= 1 –
p,
для
(вероятности
того, что в этих испытаниях событие А
наступит ровно m
раз) имеет место приближенное равенство
,
(6.7)
где
.
Пример
6.8.
Известно, что в партии, состоящей из
5000 деталей, вероятность брака равна
0,0004. Вычислим вероятности следующих
событий: а) в партии ровно 3 бракованных
детали; б) бракованных деталей в партии
не более трех; в) бракованных деталей
больше трех.
а).
Ясно, что мы находимся в условиях схемы
Бернулли, причем
,
,
.
Поскольку n
достаточно велико, а p
близко к 0,
,
то для вычисления искомой вероятности
нужно воспользоваться формулой (6.7).
.
б).
Бракованных деталей в партии не более
трех, если их 0 или 1 или 2 или 3, следовательно,
.
в).
Заметим, что события б) и в) в данной
задаче противоположны, поэтому
.
Замечание.
Если в условиях схемы Бернулли n
достаточно велико, а p
близко к 1, то q
= 1 –
p
близко к 0, и теорему Пуассона можно
применять к событию А
(именно это событие будет происходить
редко).