- •GfВведение в математический анализ План
- •Множества
- •Операции над множествами
- •Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции
- •Основные свойства функции
- •Понятие обратной функции
- •Понятие сложной функции
- •Применение функций в экономике
- •Числовые последовательности
- •Предел последовательности
- •Число е, применение в экономике
- •Предел функции
- •Замечательные пределы
- •Бесконечно малые, бесконечно большие функции
- •Классификация бесконечно малых
- •Односторонние пределы функции
- •Непрерывность функции, классификация точек разрыва
- •Основы дифференциального исчисления функции одной переменной План
- •Определение производной
- •Геометрический и физический смысл производной
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Правила дифференцирования функций
- •Дифференцирование сложной, обратной функций
- •Производная неявной и параметрически заданной функций
- •Определение и геометрический смысл дифференциала
- •Производные высших порядков явно заданной функции
- •Производные высших порядков неявно заданной функции
- •Производные высших порядков параметрически заданной функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя
- •Формула Тейлора
- •Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
- •Исследование функций с помощью производных Условия возрастания и убывания функции
- •Понятие экстремума
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Применение производных в экономике
- •Функция нескольких переменных План
- •Определение функции нескольких переменных. Область определения
- •Линии уровня
- •Предел функции нескольких переменных
- •Непрерывность функции нескольких переменных
- •Частные производные первого и высших порядков
- •Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная по направлению, градиент функции
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- •Метод наименьших квадратов
- •Основы интегрального исчисления План
- •Первообразная функции и неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Рациональные дроби
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрический функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •Определенный интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Основные методы вычисления определенного интеграла
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Некоторые приложения определенного интеграла в экономике
- •Несобственные интегралы
- •Дифференциальные уравнения План
- •Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли
- •Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)
- •Уравнения, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения второго порядка
- •Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики
- •Числовые и функциональные ряды План
- •Основные понятия. Сходимость ряда
- •Необходимый признак сходимости
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
Несобственные интегралы
При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что выполняются следующие условия: 1) пределы интегрирования a и b являются конечными; 2) подынтегральная функция f(x) на отрезке [a, b] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода. В этом случае определенные интегралы называются собственными. Если хотя бы одно из указанных условий не выполняется, то интегралы называются несобственными. При этом определение определенного интеграла (5) теряет смысл.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода).
Определение 6. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке называется предел . Обозначается .
Таким образом,
=. (14)
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке :
=. (15)
Если пределы в правых частях формул (14), (15) существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы называются сходящимися, если не существуют или бесконечны, – то расходящимися.
Аналогично вводится несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке :
(16)
Интеграл (16) называется сходящимся, если оба предела существуют и конечны. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Интегралы (14) – (16) называются также несобственными интегралами первого рода.
С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл означает, что фигура ограниченная кривой , прямыми x=a, y=0 и бесконечно вытянутая вдоль оси Ox, имеет конечную площадь S. Аналогичная геометрическая интерпретация имеет место для сходящихся несобственных интегралов (15) и (16).
Несобственный интеграл от неограниченных функций (второго рода).
Пусть функция неограниченна на конечном промежутке , причем .
Определение 7. Несобственным интегралом от функции f(x) непрерывной на промежутке и имеющей бесконечный разрыв в точке x=b, или несобственным интегралом второго рода называется предел интеграла при :
(17)
Аналогично если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке x=a, то полагают
(18)
Если же функция f(x) имеет разрыв второго рода в некоторой точке , то
(19)
Если пределы в правых частях формул (17) – (19) существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы от разрывной функции в точках a, b, и с называются сходящимися, в противном случае – то расходящимися.
С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл второго рода означает, что фигура ограниченная кривой , прямыми x=a, x=b и бесконечно вытянутая вдоль оси Oy при , имеет конечную площадь S.
Дифференциальные уравнения План
Общие сведения о дифференциальных уравнениях.
Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия, теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения). Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Я. Бернулли.
Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия, теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 2-го порядка). Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные однородные уравнения второго порядка. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики.