8. Определение и свойства тройного интеграла.

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла.

Рассмотрим в пространстве замкнутую область . Пусть в области задана непрерывная функция .1) Разбиваем область на «элементарных областей» .2) Объем «элементарной области» обозначим , а диаметр (наибольшее расстояние между двумя точками области) – через .3)Возьмем произвольную точку .4) Находим .5) Составляем интегральную сумму

.

6) Обозначим через длину наибольшего из диаметров «элементарных областей», т.е. , . Найдем предел интегральной суммы, когда так, что .

.

Предел интегральной суммы, когда число «элементарных областей» неограниченно возрастает, а длина наибольшего диаметра стремится к нулю, называется тройным интегралом от на замкнутой областью .Таким образом, тройным интегралом от по замкнутой областью называется предел интегральной суммы , когда число «элементарных областей» неограниченно возрастает, а длина наибольшего диаметра стремится к нулю:

.  интегрируемая функция в области ;

 область интегрирования; , и  переменные интегрирования;

или  элемент объема.

Свойства

1) 2)

3) , где k –

константа;

4)Если в области r,то ;

5)Если в области r и , то ;

6)Если на r и области r и s являются непересекающимися , то . Здесь означает объединение этих двух областей.

9. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.Пусть функция 3-х переменных u = f (x, y, z) задана и непрерывна в замкнутой области V  xOyz. Тройной интеграл от этой функции по области V имеет вид:  , где  .Если область V – правильная в направлении оси Oz (рис. 5), то ее можно задать системой неравенств:   где z = z1 (x, y) и z = z2 (x, y) – это уравнения поверхностей, ограничивающих область (тело) V соответственно снизу и сверху (рис. 5). Если область D можно задать системой неравенств   то  В этом случае тройной интеграл от функции u = f (x, y, z) по области V можно вычислить при помощи трехкратного повторного интеграла: .Здесь каждый внутренний интеграл вычисляется по «своей» переменной интегрирования в предположении, что переменные интегрирования внешних интегралов остаются постоянными.Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка интегрирования).Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатахЦилиндрические координаты точки М в пространстве – это ее полярные координаты на плоскости xOy и координата z, т.е.  .Преобразование тройного интеграла по области V к цилиндрическим координатам осуществляется при помощи формул  ,  ,  :  .Если область V задана системой неравенств:   причем   то V:  Вычисление тройного интеграла по области V в цилиндрических координатах сводится к вычислению трехкратного интеграла в соответствии с записанной системой неравенств для области V: .

10.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах

Для вычисления тройного интеграла часто используют так называемые цилиндрические координаты.

П оложение точки в пространстве можно определить заданием трех числе , где  длина радиус-вектора проекции точки на плоскость ,  угол, образованный этим радиус-вектором с осью ,  аппликата точки (см. рис.).

Три числа называются цилиндрическими координатами точки .Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями: , , ,где .

Возьмем в качестве цилиндрические координаты и вычислим якобиан преобразования:

.

Формула замены переменных (1.9) принимает вид:

.

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по , по , по аналогично тому, как это делается в декартовых координатах. К цилиндрическим координатам бывает удобно перейти, если область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.