12. Теорема о производной сложной функции.

ТЕОР: Если функция X= (t) имеет производную в точке T0, а функция Y=f(x) имеет производную в соответствующей точке X0= (T0), то сложная функция f[(t)] имеет производную в точке T0 и справедлива следующая формула: Y’(T0)=f ’(X0) ’ (T0).

Док–во: Так как функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0, то приращение этой функции в точке X0 может быть записано в виде Y=f ’(X0) X+(X)X, где lim (X)=0. Поделив это равенство на T (T0), получим X/Y=f ’(X0) X/T+(X) X/T. Это равенство справедливо для любых достаточно малых. Возьмем X равным приращению функции X= (t), соответствующему приращению T аргумента t в точке T0, и устремим в этом равенстве T к 0. Так как по условию X= (t) имеем в точке T0 производную, то она непрерывна в этой точке.  По определению непрерывности функции в точке, X0 при T0. Но тогда (X) 0, т. е. имеем

lim((X) X/T)=lim (X) lim(X/T)=0’ (T0)=0. В силу этого соотношения существует предел правой части равенства X/Y=f ’(X0) X/T+(X) X/T при T0, равный f ’(X0) ’ (T0).  Существует предел при T0 и левой части этого равенства, который по определению производной равен производной сложной функции Y=f[(t)] в точке T0. Т. о., дифференцируемость сложной функции доказана и установлена формула Y’(T0)=f ’(X0) ’ (T0).

ЗАМ: теорема справедлива для суперпозиции 3 и более функций.

12. Прием логарифмического дифференцирования. Производная функции Y= , R.

ОПР: Пусть Y=f(x), где X= (u), U=(v), V=(t). Производную Y’(t) следует вычислять по формуле: Y’(t)= f ’(x) ’(u) ’(v) ’(t).

ТЕОР: Производная функции Y=x , где R выражается формулой Y’= x .

Док-во: Так как Y=x , то ln Y=ln x. Дифференцируя обе части этого равенства по х и используя теорему имеем, Y’/Y=(ln x)= /x. Отсюда, учитывая, что Y=x , получаем Y’=(x )’= x .

12. Производные высших порядков.

ОПР1: Если производная функции Y=f(x) существует для xX, то можно говорить о существовании производной функции Y’.

ОПР2: Производная от производной I порядка функции Y=f(x) – производная II порядка Y’’=f ’’(x).

ОПР3: Производная от производной II порядка функции Y=f(x) – производная III порядка

Y’’’=f ’’’(x).

ОПР4: Производная n – го порядка функции Y=f(x) – производная от производной n –1 – го порядка Y = (f (x))’.

12. Дифференциалы высших порядков.

ОПР1: Дифференциал , взятый от дифференциала dy в точке x в предположении, что x = dx – дифференциал II порядка функции Y=f(x) в точке x и обозначается d y = f ’’(x)(dx) .

ОПР2: Дифференциал n-го порядка – дифференциал , взятый от дифференциала n – 1-го порядка в предположении, что x = dx и обозначается d y=f (x)(dx) .

12. Возрастание, убывание функции в точке. Достаточное условие возрастания, убывания функции в точке.

ОПР1: Говорят, что функция f(x) возрастает (убывает) в точке C, если найдется такая окрестность точки C, в пределах которой f(x)>f(c) при x>c и f(x)<f(c) при x<c (f(x)<f(c) при x>c и f(x)>f(c) при x<c).

ТЕОР: Если функция f(x) дифференцируема в точке C и f ’(c)>0 (f ’(c)<0), то эта функция возрастает (убывает) в точке C.

Док-во: Докажем для f ’(c)>0. Так как f ’(c) = lim(f(x) – f(c))/(x – c), то по определению предела функции в точке, для (>0) (>0) такое, что |(f(x) – f(c))/(x – c)|<  при 0<|x – c|<;

f ’(c) - < (f(x) – f(c))/(x – c) < f ’(c) + . Возьмем 0 < < f ’(c). Тогда f ’(c) -  < 0 и (f(x) – f(c))/(x – c) < 0 при 0<|x – c|<, а это означает, что всюду в  – окрестности точки C f(x)>f(c) при x>c и f(x)<f(c) при x<c. Возрастание функции f(x) в точке C доказано. (Случай f ’(c)<0 аналогично)

ЗАМ: Это условие является достаточным для возрастания в точке, но не является необходимым.