Предел суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей

     Если две последовательности {x_n} и {y_n} имеют пределы, равные соответственно a и b, то:

     а) Последовательность {x_n y_n} имеет предел равный a b, т. е.

     Это свойство распространяется на случай любого фиксированнго числа слагаемых.

     б) Последовательность {x_n y_n} имеет предел равный ab, т. е.

     Это свойство распространяется также на случай любого фиксированного числа сомножителей.

     Постоянный множитель можно выносить за знак предела при любом постоянном k.

     с) Последовательность имеет предел равный , т. е.

при условии, что все y_n не равны нулю и

2.2 теорему о «двух милиционерах»;

теорема о существовании предела у функции, которая «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел, называется теоремой о двух милиционерах.

теорема в математическом анализе о существовании предела у функции, которая "зажата" между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел. Формулируется следующим образом: Если функция y = f(x) такая, что для всех x в некоторой окрестности точки a, причем функции и ψ(x) имеют одинаковый предел при , при чем все три функции непрерывны в окрестностях точки a, то существует предел функции y = f(x) при , равный этому же значению, то есть

2.3 теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности;

Если числовая последовательность  монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема Всякая ограниченная сверху монотонно возрастающая последовательность имеет конечный предел.

Теорема Всякая ограниченная снизу монотонно убывающая последовательность имеет конечный предел.

3. Вопросы и задачи

3.1 Приведите примеры ограниченного и неограниченного множества вещественных чисел;

ограниченного множества является отрезок ,

неограниченного — множество всех целых чисел , прямая R

3.2 Сформулируйте отрицание к определению ограниченной последовательности;

3.3 Сформулируйте отрицание к определению «Число b называется пределом последовательности»

lim xn ≠ x ⇐⇒ ∃ε > 0 ∀N ∃n N : |xn − x | ≥ ε

n→∞

3.4 Сформулируйте отрицание к определению бесконечно малой последовательности;

3.5 Сформулируйте отрицание к определению бесконечно большой последовательности;

Тема 2. Предел и непрерывность функции

1. Определение

Сформулируйте определение:

1. ограниченной на множестве Х функции;

Функцию, ограниченную на Х и снизу и сверху, называют ограниченной на этом множестве

2. ограниченной сверху на множестве Х функции;

Функцию f называют ограниченной снизу на множестве Х, если существует такое число М, что на Х выполняется неравенство f(x) М

3. ограниченной снизу на множестве Х функции;

Функцию f называют ограниченной снизу на множестве Х, если существует такое число М, что на Х выполняется неравенство f(x) М

4. неограниченной на множестве Х функции;

функция называется ограниченной, если существует такое положительное число М, что |f(x)|≤М для всех значений х. Если такого числа не существует, то функция-неограниченная.

5. неограниченной сверху на множестве Х функции;

функция ограничена сверху, если существует такое значение функции = М, при f(x) принадлежит ( - ∞, M]

6. неограниченной снизу на множестве Х функции;

функция ограничена снизу, если существует такое значение функции = М, при f(x) принадлежит [М;+ ∞)

7. верхней грани функции на множестве Х;

Верхняя грань множества М чисел – такое число В, что для любого элемента х множества М имеет место соотношение х ≤ В.

8. нижней грани функции на множестве Х;

нижняя грань множества М чисел – такое число В, что для любого элемента х множества М имеет место соотношение х ≥В.

9. точной верхней грани функции на множестве Х;

Наименьшая из верхних граней ограниченной сверху на X f(x) называется её точной верхней гранью

Эквивалентное определение:

Число M называется точной верхней гранью f(x) на X, если:

1) ∀ x ∈ X: f(x) ≤ M.

2) ∀< M ∃∈ X: f(x) >=M .

10. точной нижней грани функции на множестве Х;

точную нижнюю грань множества М – наибольшую из всех нижних граней. Ее обозначают через inf M.

Утверждение В = inf M эквивалентно одновременному выполнению двух условий: а) для любого  числа х  из множества М  выполнено неравенство f(x) ≥В; б) для любого числа М₁, такого что М₁ > М, найдется в множестве М такое число у, что у <M₁.

11. монотонной на промежутке функции;

Функция называется возрастающей на отрезке [а, b], принадлежащем области определения функции, если любому большему значению аргумента из этого отрезка соответствует большее значение функции

x₂ > x₁→ f (x₂) > f (x₁) х₁, x₂ [a, b].

  Функция называется убывающей на отрезке [a, b], если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствуют меньшие значения функции

x₂ > x₁→ f (x₂) < f (x₁) х₁, x₂ [a, b].

  Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями

12. предела функции f(x) при х->a по Коши и по Гейне;

Гейне

Число b называется пределом функции y=f(x) (область определения {x})

в точке a ∈{x} (при х, стремящемся к а), если для любой последовательности {xn} (x∈{x}), сходящейся к а, соответствующая последовательность {f(xn) } сходится к b.

Коши.

Число b называется пределом функции y=f(x) при х→а, если для любого

положительного вещественного числа ε (сколь угодно малого)

существует такое положительное вещественное число δ, зависящего от ε,

что из неравенства 0<|x-a|<δ следует неравенство |f(x)-b|<ε.

13. предел функции f(x) при х->°°, х->+°°, х->-°° по Коши и по Гейне:

(lim f (x)=b)≡(∀ε>0) (∃B(ε) >0):(|x|>B(ε) ⇒|f(x)-b|<ε)

x→∞ ∈R ∈R

В частных случаях, когда х→+∞ и х→-∞, имеем:

(lim f (x)=b)≡(∀ε>0) (∃B(ε) >0):(|x|>B(ε) ⇒|f(x)-b|<ε)

x→+∞ ∈R ∈R

(lim f (x)=b)≡(∀ε>0) (∃B(ε) >0):(|x|<-B(ε) ⇒|f(x)-b|<ε)

x→-∞ ∈R ∈R

14. бесконечно малой функции при x->a, x->°°, х->+°°, х->-°° по Коши и по Гейне:

Функция α(х) называется (б.м.ф.) при х→а (при х→∞), если lim α(x)=0 ( limα(x)=0 ).

x→a x →∞

Эти определения в символической форме имеют вид:

(α(x)- б м ф. при х→а) (∀ε > 0) (∃δ(ε) >0) : (0 <|x-a|<δ(ε) ⇒|α(x)|<ε)

∈R ∈R

(α(x)- б м ф при х→∞)(∀ε > 0)(∃β(ε) >0) : (|x|>β(ε) ⇒|α(x)|< ε)

∈R ∈R

15. бесконечно большой функции при x->a, x->°°, х->+°°, х->-°° по Коши и по Гейне;

Функция y=f(x) называется (ББФ) при х→а, если для любого вещественного числа В>0 существует вещественное число δ>0, зависящее от В такое, что если 0<|x-a|<δ, то выполняется |f(x)|>B. (проще lim f(x)= ∞ при х->а)

Это определение (по Коши) в символической форме имеет вид:

(lim f (x)=∞)≡ (∀B >0 ) (∃δ (B) >0): (0 <|x – a|< δ ⇒|f(x)| >B)

x→a ∈R ∈R

Определение этого же понятия на языке последовательностей (по

Гейне) имеет вид:

(lim f(x)=∞)≡(∀{xn}→a) : ({f(xn)}-ББП )

x→a x ∈{x}

16. функции, непрерывной в точке;

Функция называется непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке, существует предел функции в этой точке и предел равен значению функции в этой точке.

17. непрерывной на промежутке функции;

Будем говорить, что функция f (x) непрерывна в интервале (а, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала; непрерывна на отрезке [а, b], если она непрерывна в интервале (а, b) и непрерывна в точке x = а справа, а в точке x = b слева, т. е.

и

18. точка разрыва функции;

Точка х₀ называется точкой разрыва функции f (x), если f (x) в точке х₀ не является непрерывной.   Это значит, что или не существует предела функции в данной точке, или этот предел не совпадает с тем значением, которое функция принимает в этой точке

19. точка устранимого разрыва функции;

Точка х0 называется устранимой точкой разрыва функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечный предел lim x->x0 f(x)=A.

20. точка разрыва первого рода функции f(х);

Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы

21. точка разрыва второго рода функции f(х);

Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f (x) не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.   Так для функции

в точке х = 0 односторонние пределы равны

,

то х = 0 является точкой разрыва второго рода

22. обратной функции.   Пусть задана некоторая функция у = f(х), которая каждому элементу из множества D (f) ставится в соответствие один элемент из множества Е ( f ). Если обратное соответствие есть тоже функция, то есть, каждому значению у E( f ) соответствует единственное значение х D ( f ), то ее называют обратной функцией по отношению к функции f (х).

2. Основные теоремы (без доказательства)

Сформулируйте теорему:

2.1 о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций;

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если эти пределы существуют.

Предел произведения двух функций, имеющих пределы равен произведению этих пределов.

Предел частного двух функций, имеющих предел, равен отношению пределов этих функций.

2.2 о связи предела функции в данной точке с односторонними пределами в этой точке;

Число А называется пределом функции f(x) в точке х=а, если каково бы ни было >0, найдётся такое >0, что для любого х, удовлетворяющего условию a<x<a+ выполняется неравенство |f(x)-A|<.

Аналогично определение левого предела функции, только в этом случае x должен удовлетворять условию a-<x<a.

Функция f(x) имеет предел в точке х=а тогда и только тогда, когда в этой точке существуют правый и левый пределы, и они раны между собой. Общее значение этих пределов и является пределом функции f(x) в точке х=а.

2.3 о первом замечательном пределе;

lim (sin x /x)=1.

x→0

2.4 о втором замечательном пределе;

lim (1+1/x)^x=e

x→∞

lim (1+x)^(1/x)=e

x→0

2.5 непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух непрерывных функций;

Если функции f(x) и ϕ(x) непрерывны в точке x0, то функции f(x)± ϕ(x), f (x)⋅ϕ(x) и f(x)/ϕ(x) (при условии ϕ(x )≠0) также непрерывны в точке x0.

2.6 о непрерывности сложной функции;

Пусть x=ϕ(t) задана на множестве {t} имеет множество значений {x}.Пусть на этом множестве {x}задана функция y=f(x). Тогда на множестве {t} задана сложная функция y=f(ϕ(t)).

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке x0 ∈{x}, а функция x=ϕ(t) непрерывна в соответствующей точке t (ϕ(t)=x ). Тогда сложная функция y=f(ϕ(t)) непрерывна в точке t0.

2.7 о существовании, монотонности и непрерывности обратной функции;

Если функция y=f(x) строго возрастает (убывает) на множестве X, то для нее существует обратная функция x=f−1(y), которая определена на множестве Y=f(X) и является на Y строго возрастающей (убывающей).

2.8 о пределе монотонной ограниченной функции;

Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел:

2.9 о непрерывности сложной функции;

2.10 о прохождении непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение (теорема Больцано-Коши);

если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что f(a) = A < B = f(b). Тогда для любого существует такое, что f(c) = C.

2.11 о существовании, монотонности и непрерывности обратной функции;

2.12 о первом замечательном пределе;

2.13 о втором замечательном пределе;

3. Вопросы и задания

Докажите, что