П3. Крытэрыі квадравальнасці фігуры

Тэарэма 1 (у тэрмінах мнагавугольнікаў). Для таго, каб фігура Р была квадравальнай і мела плошчу S(P), неабходна і дастаткова, каб існавалі дзве паслядоўнасці мнагавугольнікаў (A_n) i (B_n), якія адпаведна змяшчаюццца і змяшчаюць фігуру Р такія, што .



Тэарэма 2 (у тэрмінах квадравальных фігур). Для таго, каб фігура Р была квадравальнай, неабходна і дастаткова каб існавалі дзве паслядоўнасці квадравальных фігур (Q_n) i (P_n), якія адпаведна змяшчаюццца і змяшчаюць фігуру Р такія, што . (без доказа)

§10. Вылічэнне плошчаў фігур п1. Плошча фігуры ў дэкартавай сістэме каардынат

Няхай фігура Р – крывалінейная трапецыя - фігура, абмежаваная прамымі х = а, х = b, y = 0, графікам функцыі y = f(x) (f(x)  x [a,b]).

Тэарэма 1. Крывалінейная трапецыя – квадравальная фігура і яе плошча можа быць падлічана па формуле S(P) = .

 на падставе крытэрыя квадравальнасці ў тэрмінах мнагавугольнікаў.

Заўвага 1. Аналагічна можна паказаць, што плошча крывалінейнай трапецыі Р, якая абмежавана прамымі y = c, y = d, воссю х = 0 і графікам неадмоўнай , непарыўнай функцыі x = (y), знаходзіцца па формуле

S(P) = .

Заўвага 2. Любы мнагавугольнік – квадравальная фігура.

Вынік 1. Няхай фігура Р абмежавана прамымі х = а, х = b, y = 0, графікам функцыі y = f(x) (f(x)  x [a,b]), то фігура Р – квадравальная і яе плошча S(P) =  .

Заўвага 3. У гэтым выпадку фігура Р не з’яўляецца крывалінейная трапецыяй.

Вынік 2. Няхай фігура Р абмежавана прамымі х = а, х = b і графікамі функцый y = f₁(x) і y = f₂(x) (f₂(x) > f₁(x)   x [a,b]), S(P) = .

Няхай функцыя f(x) задана параметрычна сістэмай .(1)

Функцыя (t) непарыўная разам са сваёй вытворнай і непарыўная на адрэзку [a,b], функцыя (t)0 t[,]. Г.зн. на адрэзку [a,b] задана непарыўная неадмоўная функцыя y = ( ^-1(x)), дзе a = (), b = (). Тады плошча крывалінейнай трапецыі, абмежаванай прамымі х = а, х = b і графікам функцыі, якая задана формуламі (1), знойдзецца па формуле

S(P) = . (2)

Заўвага 4. Фомулу (2) можна скарыстаць для вылічэння плошчы фігуры, абмежаванай замкнутай крывой, пры умове: уся крывая абыходзіцца адзіны раз па кірунку гадзінікавай стрэлкі, калі t[,].

Прыклад.

п2. Плошча фігуры ў палярнай сістэме каардынат

Тэарэма 1. Кругавы сектар – квадравальная фігура і яго плошча

S(P) = ½ R²  S_круга = R². (без док.)

Зададзім палярную сістэму каардынат. Няхай на адрэзку [,] задана непарыўная функцыя r = f(). Графік – плоская крывая.

Азначэнне 1. Фігура P, абмежаваная прамянямі  = ,  =  і графікам функцыі r = f(), называецца крывалінейным сектарам.

Тэарэма 2. Крывалінейны сектар – квадравальная фігура і яго плошча

S(P) = ½ . (3)



Заўвага 5. Калі фігура P, абмежаваная прамянямі  = ,  =  і графікам функцый r = f₁(), r = f₂(), f₂() > f₁(), то 1) фігура Р не з'яўляецца крывалінейным сектарам, 2) S(P) = ½ .

Прыклад.

§11. Кубавальныя целы п1. Паняцце мнагагранніка і яго уласцівасці

Азначэнне 1. Мнагаграннікам называецца цела GR³, якое можна прадставіць у выглядзе аб’яднання концавага ліку трохвугольных пірамід, якія не маю агульных нутраных пунктаў.

Аб’ем мнагагранніка абазначым V(G).

У курсе геаметрыі было даказана, што існуе адзінае адлюстраванне V мноства мнагаграннікаў у мноства сапраўдных лікаў, якое мае наступныя ўласцівасці:

1. Неадмоўнасць: для кожнага мнагагранніка V(G)  0.

2. Інварыянтнасць: калі А = В, то V(А) = V(В).

3. Адытыўнасць: калі А і В не маюць агульных нутраных пунктаў, то V(АВ) = V(А) + V(В).

4. Нармаванасць: існуе мнагаграннік адзінкавага аб’ёму (,V(А)= 1), які называецца адзінкавым кубам.

5. Манатоннасць: калі А  В , то V(А)  V(В).