Совместный закон распределения величин и можно задавать таблицей

(X,Y)	(x1, y1)	…	(x1, ym)	(x2, y1)	…	(xn, y1)	…	(xn, ym)
P	p11	…	p1m	p21	…	pn1	…	pnm

Или в виде двумерной таблицы

Y \ X	x1	x2	…	xi	…	xn
Y1	p(x1, y1)	p(x2, y1)	…	p(xi, y1)	…	p(xn, y1)
Y2	p(x1, y2)	p(x2, y2)	…	p(xi, y2)	…	p(xn, y2)
…	…	…	…	…	…	…
yj	p(x1, yj)	p(x2, yj)	…	p(xi, yj)	…	p(xn, yj)
…	…	…	…	…	…	…
ym	p(x1, ym)	p(x2, ym)	…	p(xi, ym)	…	p(xn, ym)

Примеры. В ящике два шара, на каждом из которых написана цифра 1, и три шара, на каждом из которых написана цифра 2.

Один за другим вынимают два шара. Пусть - это номер на первом шаре, а – - номер на втором шаре. Найти совместный закон распределения величин

Используя формулу умножения вероятностей, найдем,

,

Запишем совместный закон распределения в виде таблицы

(X,Y)	(1,1)	(1,2)	(2,1)	(2,2)
P	1/10	3/10	3/10	3/10

Или

Y \ X	x1= 1	x2 = 2
y1 = 1	1/10	3/10
y2 = 2	3/10	3/10

◄

Свойства вероятностей

1. 

2. 

3. 

Пример. Найти законы распределения случайных величин и , если совместный закон распределения случайной величины задан таблицей

Y \ X	x1	x2	x3
y1	0.1	0.3	0.2
y2	0.06	0.18	0.16

Используем свойства вероятностей совместного распределения 1 и 2.

Сложив вероятности по столбцам, получим вероятности возможных значений

X : P(x₁) = 0.1 + 0.06 = 0.16; P(x₂) = 0.3 + 0.18 = 0.48; P(x₃) = 0.2 + 0.16 = 0.36;

Контроль: 0.16 + 0.48 + 0.36 = 1.

Запишем закон распределения в виде таблицы

X	x1	x2	x3
P	0.16	0.48	0.36

Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений Y : P(y₁) = 0.1 + 0.3 + 0.2 = 0.6; P(y₂) = 0.06 + 0.18 + 0.16 = 0.4;

Контроль: 0.6 + 0.4 = 1.

Запишем закон распределения в виде таблицы

Y	y1	y2
P	0.6	0.4

◄

Дискретные случайные величины и называются независимыми, если для всех пар выполняются соотношения

.

Замечание. Если и две дискретные случайные величины, то для любой функции двух переменных величина тоже является дискретной случайной величиной. Эта величина принимает значения с вероятностями , если функция взаимно однозначна . Если же значения совпадают для различных пар с величиной , то принимает общее значение с вероятностью, равной сумме вероятностей , отвечающих всем таким , для которых .

Примеры.

1.Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями

X	1	2
P	0.6	0.4

Y	3	4
P	0.2	0.8

Найти распределение случайной величины .

Найдем все возможные пары , вероятности их появления по теореме умножения вероятностей независимых случайных величин и соответствующие этой паре значения величины

,

,

,

,

,

,

.

Таким образом , случайная величина принимает значения 4, 5, 6 со следующими вероятностями

,

,

.

Запишем это распределение в виде таблицы

Z	4	5	6
P	0.12	0.56	0.32

Контроль: 0.12 + 0.56 + 0.32 = 1. ◄

2. В ящике два шара, на каждом из которых написана цифра 1, и три шара, на каждом из которых написана цифра 2.

Один за другим вынимают два шара. Пусть - это номер на первом шаре, а - номер на втором шаре. Найти закон распределения случайной величины, равной

а) разности цифр на первом и втором шарах ,

б) произведению цифр на шарах .