5. (Обобщенная теорема сложения вероятностей)

.

6. (Теорема сложения k слагаемых)

Если события А₁, А₂,…, А_k попарно несовместимы(Аi Аj равно пустому множеству i не равно j) , то вероятность их суммы равна сумме вероятности

.

7. Если (А влечет В), то .

, тогда .

8. Если собатие А влечет события В , то .

. Следовательно, . Тогда .

9. Вероятность события противоположная событию В находится по формуле: .

, .

10. Если события Н₁, Н₂,…,Н_k образуют полную группу, то .

Т.к. , то по свойству 6:

6.Условная вероятность. Независимость.

Условной вероятностью события B при условии A называется вероятность события B в предположении, что событие A наступило. Обозначение .Условная вероятность находится : .

Теорема (умножение вероятностей). Вероятность произведения

.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности второго при условии, что оно наступило

.

Теорема обобщения теоремы умножения вероятности .

События А и В называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их событий

Свойство. События А и В независимы тогда и только тогда когда P(B/A)=P(B).

Пусть события А и В независимы тогда .

Пусть P(B/A)=P(B), тогда А и В независимы.

Независимость в совокупности

События называются независимыми или незавизимыми в совокупности, если выполняются след. условия: 1 независимы по парно, 2 независимы по три

Замечание: из по парной независимости не следует независимость совокупности.

7.Формулы полной вероятности и Байеса.

Теорема 1. Если события Н₁, Н₂,…,Н_n образуют полную группу, то вероятность любого события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

, или .

Так как события образуют полную группу, то можно записать .Умножим обе части равенства на А А=АН₁+АН₂+…+АН_n.

По теореме сложения вероятностей

Замечание: при применении формулы полной вероятности события Н₁,Н₂,…,Н_n , образующие полную группу, называются гипотезами.

Теорема 2. Пусть события Н₁, Н₂, …, Н_n образуют полную группу, А–некоторое событие, которое может произойти совместно с любым из события Н₁, Н₂, …, Н_n тогда условная вероятность каждой из гипотез при условии события А находится по формуле:

.

ИЛИ

,

Доказательство: По теореме умножения вероятностей

.

Замечание. При применении формулы Байеса вероятности называются априорными вероятностями гипотез. Вероятности P(H₁|A),…,P(H_n|A) называют апостериорными вероятностями гипотез.

8.Схема Бернулли.Полиноминальное распределение.

Предположим, что проводится независимо друг от друга n испытания в каждом из которых возможно 2 исхода : «У» и «Н», которые мы называем успехом и неудачей. Обозначим Р(У) и Р(Н) , , p+q=1.

Последовательность n испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания независимы, а в каждом из них возможны два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию

В n испытаниях Бернулли элементарным исхода явл. (w₁,w₂,…,w_n), .всего таких исходов 2ⁿ поскольку испытания независимы, то

Обозначим через вероятность того , что в n испытаниях Бернулли произошло ровно к-успехов, тогда: .

По теореме сложения получим

Таким образом, получим

—формула Бернулли.

Полиномиальное распределение.

Предположим, что производится независимо друг от друга n испытания в каждом из которых возможны k исходов E₁, E₂, …, E_k, при чем

P(E_i)=p_i, Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие E₁ появиться r₁ раз, E₂ – r₂ раз, …, E_k – r_k раз вычисляется по формуле:

где

Замечание: формула полиномиальное распределения, обобщающая формулу Бернулли на случай более 2 исходов в каждом испытании.