12.Физические Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа. Постановка краевых задач предельные случаи.

При исследовании стационарных процессов различной физической природы(колебания, теплопроводность, диффузия и др.)обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Если рассматривать электричество, то уравнение Максвелла превращается в стационарном режиме в

Рассмотрим некоторый объем V, ограниченный поверхностью Σ. Задача о стационарном распределении температуры U(x,y,z) внутри V формируется следующим образом:

Найти функцию U(x,y,z), удовлетворяющую внутри V уравнению

ΔU=-f(x,y,z) и граничному условию, которое может быть взято в одном из следующих видов:

1. U=f₁ на Σ 1-я краевая задача

2. на Σ 2-я краевая задача

3. на Σ 3-я краевая задача

f₁,f₂,f₃,h – заданные функции

производная на внешней нормали к Σ.

13.Уравнение Лапласа. Фундаментальные решения. Случай сферической симметрии

Уравнение Лапласа имеет вид

ΔU=0

Решение уравнения Лапласа U=U(r), образ. сферической симметрией, будет определяться из обыкновенного дифференциального уравнения:

Интегрируя находим U=-C/r+C^/

Решение U₀=1/r часто называют фундаметальным решением уравнения Лапласа в пространстве.

В случае цилиндрической симметрии

U=C lnρ+ C^/ - как поле заряженной нити

Функцию U₀(f)=ln1/ρ часто называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости.

14.Формула Грина. Гармонические функции и их свойства.

При изучении уравнении эллиптического типа часто пользуются формулами Грина.

1-я формула Грина

U=U(x,y,z) U=U(x,y,z)

2-я формула Грина

В качестве функции U возьмем

M-произвольная точка

M₀-фиксированная точка

Если допустить, что U – решение уравнения Лапласа ΔU=0, то

Если бы мы добавили к уранению граничные условия, то значения подынтегральной функции были бы известны и мы бы получили решение уравнения Лапласа с соответствующими граничными условиями.

ΔU=0 U|_Σ |_Σ

Функция удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической функцией

3-я (основная) формула Грина

Свойства гармонических функций

1. 

Интеграл по поверхности любой гармонической функции равен 0.

2. Пусть Σ сферическая поверхность с радиусом a M₀ центр

- теорема о среднем

Значение функции в точке M₀ равно среднему значению этой функции на любой сфере радиуса а с центром в М₀

Аналогично

3. Принцип максимального значения

15.Задача колебаний круглой мембраны. Диференциальные уравнения Бесселя. Функции Бесселя и их свойства.

U(x,y,t)-отклонение от положения равновесия. Колебания описываются функцией U.

Будем считать, что наша задача подчиняются волновому уравнению.

Задача обладает сферической симметрией, поэтому удобно работать в полярных координатах

U(r,φ)|_r=a=0 – мембрана закрепленная по периметру.

U|_t=0=f(r,φ) U_t|_t=0=g(r,φ)

Решаем задачу разделения переменных

U(r,φ,t)=U(r,φ)T(t)

T=A cos(λct)+Bsin(λct)

Т.к. 2-е уравнение содержит 2 переменные, то

U(r,φ)=R(r)Ф(φ)

Получим

Ф⁽²⁾+p²Ф=0 Ф=Сcos(pφ)+Dsin(pφ)

r²R⁽²⁾+rR^/+(r²λ²-p²)R=0

физически 0≤φ≤2π

Функция периодична при целом P

Ф_n=C_ncos(nφ)+D_nsin(nφ)

U|_r=a=R(a)T(t)Ф(φ)=0

R(a)=0

r²R⁽²⁾+rR^/+(r²λ²-n²)R=0 – уравнение Бесселя с начальным условием

R(r)=G₁I_n(λr)+ G₂I_n(λr)

G₂=0 ввиду конечности решения

I_n(λа)=0 I_n(а_m⁽ⁿ⁾)

λ_nm=a_m⁽ⁿ⁾/a

Окончательно

U(r,φ,t)=ΣC_n,mI_n(λ_n,mr)exp(in φ +I λ t)

Уравнение Бесселя имеет вид

x²y⁽²⁾+xy^/+(x²-v²)y=0, где v – параметр задачи(может быть конечным).Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

y=C₁Y_v(x)+ C₂V_v(x)