- •3. Аналитическая геометрия
- •3.1. Прямая на плоскости
- •3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
- •Решение. Решим систему уравнений:
- •3.3. Плоскость в пространстве
- •3.4. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Расстояние от точки до плоскости
- •3.5. Уравнения прямой в пространстве
- •3.6. Взаимное расположение в пространстве двух прямых, прямой и плоскости
- •3.7. Кривые второго порядка. Окружность
- •3.8. Эллипс
- •3.9. Гипербола
- •3.10. Парабола
- •3.11. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка
- •3.12. Поверхности второго порядка. Сфера*
- •3.13. Цилиндрические поверхности*
- •3.14. Конические поверхности*
- •3.15. Эллипсоиды*
- •3.16. Гиперболоиды*
- •3.17. Параболоиды*
- •3.18. Поверхности вращения*
- •3. Аналитическая геометрия 34
3. Аналитическая геометрия
3.1. Прямая на плоскости
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат: 0 – начало координат, , – единичные направляющие векторы осей координат. Рассмотрим на плоскости 0ху произвольную прямую l.
Уравнением прямой l называется уравнение, содержащее переменные х, у, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на l, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на l. Прямая однозначно определяется:
1) точкой и вектором, перпендикулярным l (нормальным вектором);
2) точкой и вектором, параллельным (направляющим вектором);
3) ее двумя точками;
4) угловым коэффициентом и начальной ординатой.
В каждом из этих случаев получим соответствующий вид уравнения прямой.
П усть прямая l (рис. 3.1) определена точкой M1(x1, y1), лежащей на l, и нормальным вектором (т.е. ); , (или, что то же самое, ={A, B}).
Пусть М(х, у) – любая точка прямой. Тогда вектор перпендикулярен вектору , поэтому скалярное произведение этих векторов равно нулю ( = 0). Выражая это произведение через координаты сомножителей, получим:
, (3.1)
т.е. уравнение прямой, проходящей через данную точку М(х1, у1) перпендикулярно данному вектору = {A, B}.
Преобразуем уравнение (3.1). Раскрыв скобки и переставив слагаемые, получим:
.
Обозначим число (–Ах1 – By1) через С и получим:
(3.2)
– общее уравнение прямой.
Итак, уравнение прямой (3.1) является уравнением первой степени относительно переменных х, у (координат произвольной точки М, которые называются текущими координатами).
Покажем, что любое уравнение первой степени (3.2) есть уравнение некоторой прямой на плоскости 0ху. Для этого приведем уравнение (3.2) к виду (3.1).
Если , то уравнение (3.2) равносильно уравнению:
.
Если , то уравнение (3.2) равносильно уравнению:
.
В любом случае получаем уравнение прямой, проходящей через некоторую точку, перпендикулярно известному вектору ={A, B}.
И так, уравнение (3.2) является уравнением некоторой прямой. Его коэффициенты А, В являются координатами нормального вектора.
Если в уравнении (3.2) С = 0, то прямая l проходит через начало координат. Если А = 0 ( , ), т.е. уравнение имеет вид у = у1, ( ), то прямая l параллельна оси 0х. Если В = 0 ( , ), т.е. уравнение имеет вид , ( ), то прямая l параллельна оси 0у. Уравнение у = 0 (А = С = 0) является уравнением оси 0х, а уравнение (В = С = 0) – уравнением оси 0y. Пусть прямая l (рис. 3.2) задана своей точкой M1(x1, y1) и направляющим вектором . Тогда векторы коллинеарны, следовательно, их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.
. (3.3)
Полученное уравнение является уравнением искомой прямой l и называется каноническим.
Может оказаться, что вектор перпендикулярен одной из осей, тогда, либо m = 0 , либо n = 0 . В этих случаях каноническое уравнение прямой все равно будем записывать соответственно в виде:
.
Пусть прямая l проходит через две заданных точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2) (рис. 3.3). Тогда векторы и коллинеарны, поэтому уравнение
(3.4)
является уравнением прямой, проходящей через точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2).
Пусть прямая l пересекает оси координат в точках М1(0, b), М2(a, 0) (рис. 3.4). Запишем уравнение прямой l в виде (3.4) , отсюда получаем:
. (3.5)
Уравнение (3.5) называется уравнением прямой в отрезках (а и b – отрезки, отсекаемые прямой l на осях координат).
Пусть прямая l образует с осью 0х угол (рис. 3.5) и проходит через точку М1(х1, у1). Запишем каноническое уравнение прямой l, взяв в качестве направляющего вектора вектор = {m, n} единичной длины, который составляет с осью 0х угол . Очевидно, что т = cos , n = sin и уравнение прямой l принимает вид:
Если (т.е. l неперпендикулярна оси 0х), то из последнего уравнения получаем:
.
Пусть k = tg (это число называется угловым коэффициентом прямой), тогда можно записать
(3.6)
у равнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через данную точку М1(х1, у1).
Е сли в качестве точки М1 взять точку М0(0, b) пересечение прямой l с осью 0у (рис. 3.6), то уравнение (3.6) примет вид:
. (3.7)
Полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b.
Пример 3.1. Записать всевозможные уравнения прямой, проходящей через точки М1(2, –3) и М2(1, 0) (рис. 3.7).
Решение. Используя уравнение (3.4), получим уравнение прямой, проходящей через точки М1 и М2: , отсюда получаем:
– каноническое уравнение прямой. Сделав очевидные преобразования, получим:
– уравнение прямой l, проходящей через точку М1(2, –3) перпендикулярно вектору = {3, 1}. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим общее уравнение прямой: . Наконец, выразив отсюда у, получим – уравнение с угловым коэффициентом и начальной ординатой .
Пример 3.2. Дано общее уравнение прямой l: . Найти отрезок, отсекаемый этой прямой от оси 0у и угол между l и осью 0х. Построить прямую l.
Решение. Решим данное уравнение относительно переменной у, получим:
– уравнение прямой l с угловым коэффициентом k = tg = –1 и начальной ординатой b = 10/3. Значит, прямая l проходит через точку М1(0, 10/3) и составляет с осью 0х угол = . По этим данным строим прямую l (рис. 3.8).