- •Лабораторная работа №4 Тема: Численное интегрирование
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Примерный фрагмент выполнения лабораторной работы на MathCad
- •Лабораторная работа №5 Тема: Численное решение дифференциальных уравнений
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Примерный фрагмент выполнения лабораторной работы на MathCad
- •Лабораторная работа №6 Тема: Статистическая обработка опытных данных
- •Задание 1
- •Задание 2
Лабораторная работа №5 Тема: Численное решение дифференциальных уравнений
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
. (5.1)
Требуется найти на отрезке решение , удовлетворяющее начальному условию
(5.2)
Будем предполагать, что условия теоремы существования и единственности выполнены. Для решения используем метод Эйлера (метод первого порядка точности, расчетные формулы (5.3)) и метод Рунге-Кутта (метод четвертого порядка точности, расчетные формулы (5.4)) с шагом h и 2h. Отметим, что результаты могут сильно отличаться, ввиду того, что метод Эйлера, имея только первый порядок точности, используется, как правило, для оценочных расчетов. Ориентировочную оценку погрешности метода Рунге-Кутта можно вычислить по формуле (5.5) [2].
, где h – шаг разбиения. (5.3)
, где (5.4)
.
= (5.5)
Задание 1
Написать программу решения дифференциального уравнения методом Эйлера на отрезке с шагом и 2h и начальным условием . Исходные данные для выполнения задания берутся из таблицы 5.1. Сравнить результаты.
Задание 2
Написать программу решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта на отрезке с шагом и 2h и начальным условием . Оценить погрешность по формуле (5.5). Исходные данные для выполнения задания берутся из таблицы 5.1.
Примерный фрагмент выполнения лабораторной работы на MathCad
1. Решить дифференциальное уравнение y’=f(x,y) методом Эйлера на отрезке [a,b] с шагом h c начальным условием y(a)=y0 , f(x,y)=(3x-y)/(x2+y), a=2, b=3, h=0.1, y0=1.
2. Решить дифференциальное уравнение y’=f(x,y) методом Рунге-Кутта на отрезке [a,b] с шагом h c начальным условием y(a)=y0.
Таблица 5.1
N |
Функция |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
1 |
0.1 |
2 |
|
3 |
4 |
1 |
0.1 |
3 |
|
0 |
1 |
2 |
0.1 |
4 |
|
2 |
3 |
1 |
0.1 |
5 |
|
1 |
2 |
1 |
0.1 |
6 |
|
0 |
1 |
1 |
0.1 |
7 |
|
0 |
1 |
2 |
0.1 |
8 |
|
0 |
1 |
1 |
0.1 |
9 |
|
2 |
3 |
2 |
0.1 |
10 |
|
0 |
1 |
3 |
0.1 |
11 |
|
1.5 |
2.5 |
2.2 |
0.1 |
12 |
|
1 |
2 |
1 |
0.1 |
13 |
|
0.1 |
1.1 |
1.25 |
0.1 |
14 |
|
1 |
2 |
0 |
0.1 |
15 |
|
3 |
4 |
1.7 |
0.1 |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Проверить для дифференциального уравнения условия теоремы существования и единственности.
2. На какие основные группы подразделяются приближенные методы решения дифференциальных уравнений?
3. В какой форме можно получить решение дифференциального уравнения по методу Эйлера?
4. Каков геометрический смысл решения дифференциального уравнения методом Эйлера?
5. В какой форме можно получить решение дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта?
6. Какой способ оценки точности используется при приближенном интегрировании дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта?
7. Как вычислить погрешность по заданной формуле, используя метод двойного пересчета?