- •2.Различные классификации математических моделей.
- •5.1 Понятие компьютерного моделирования. Предмет, цели и назначение компьютерного моделирования.
- •6. Этапы компьютерного моделирования . Примеры.
- •3.Основные свойства моделей. Операции над моделями
- •4)Понятие моделирование,его цели,предмет,виды.
- •10. Дифференциальные модели. Методы. Задачи. Модель математического маятника.
- •11. Экологическая модель «хищник-жертва».
- •12. Модель «конкурирующие виды»
- •13. Экологическая модель взаимодействия логистических популяций.
- •14. Вероятностно-статистические модели. Методы, задачи.
- •16. Метод Монте–Карло. Основные задачи.
- •17. Разыгрывание дискретной случайной величины
- •21.Системы массового обслуживания,основные понятия,граф состояния.
- •22.Уравнение Колмогорова
- •23.Предельные вероятности состояний
- •24. Одноканальная смо с отказами
- •25.Многоканальная смо с отказами
- •26.Одноканальная смо с ожиданием и неограниченной очередью
- •18.Разыгрывание непрерывной случайной величины.
- •6.1.Метод обратных функций.
- •6.2.Метод суперпозиции.
- •20.Цепи Маркова.
11. Экологическая модель «хищник-жертва».
Рассмотрим математическую модель совместного существования двух биологических видов (популяций) типа "хищник - жертва", называемую моделью Вольтерра - Лотки. Впервые она была получена А.Лоткой (1925 г.), который использовал для описания динамики взаимодействующих биологических популяций. Чуть позже и независимо от Лотки аналогичные (и более сложные) модели были разработаны итальянским математиком В. Вольтерра (1926 г.), глубокие исследования которого в области экологических проблем заложили фундамент математической теории биологических сообществ или так называемой математической экологии.
Пусть два биологических вида совместно обитают в изолированной среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым для жизни один из видов, который будем называть жертвой. Другой вид - хищник также находится в стационарных условиях, но питается лишь особями первого вида. Это могут быть караси и щуки, зайцы и волки, мыши и лисы, микробы и антитела и т. д. Будем для определенности называть их карасями и щуками.
Итак, караси и щуки живут в некотором изолированном пруду. Среда предоставляет карасям питание в неограниченном количестве, а щуки питаются лишь карасями. Обозначим: у - число щук, х - число карасей.
Со временем число карасей и щук меняется, но так как рыбы в пруду много, то не будем различать 1020 карасей или 1021 и поэтому будем считать х и у непрерывными функциями времени t. Будем называть пару чисел (х, у) состоянием модели.
Попробуем из самых простых соображений найти, как меняется состояние (х, у). Рассмотрим dx/dt - скорость изменения численности карасей. Если щук нет, то число карасей увеличивается и тем быстрее, чем больше карасей. Будем считать, что эта зависимость линейная : dx/dt ~ a1 x, причем коэффициент a1 зависит только от условий жизни карасей, их естественной смертности и рождаемости.
Скорость изменения dy/dt числа щук (если нет карасей), зависит от числа щук y. Будем считать, что dy/dt ~ -a2 y . Если карасей нет, то число щук уменьшается (у них нет пищи) и они вымирают.
В экосистеме скорость изменения численности каждого вида также будем считать пропорциональной его численности, но только с коэффициентом, который зависит от численности особей другого вида. Так, для карасей этот коэффициент уменьшается с увеличением числа щук, а для щук увеличивается с увеличением числа карасей. Будем считать эту зависимость также линейной. Тогда получим систему из двух дифференциальных уравнений: dx/dt = a1 x - b1 yx
dy/dt = - a2 y + b2 yx
Эта система уравнений и называется моделью Вольтерра-Лотки. Числовые коэффициенты a1, a2, b1, b2 - называются параметрами модели. Очевидно, что характер изменения состояния (x, y) определяется значениями параметров. Изменяя эти параметры и решая систему уравнений модели, можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы.
12. Модель «конкурирующие виды»
Рассмотрим 2 вида животных, растений или бактерий, которые конкурируют друг с др. за продовольствие, доступное в их общей среде.
Обозначим за х(t), у(t) численности их популяций в момент времени t.
Предположим, что в отсутствии любых других видов данный вид имел бы ограниченную численность популяции, в отсутствие любого взаимодействия или конкурирующего вида численности их популяций удовлетворяли бы дифференциальному уравнению:
(5)
Предположим, что конкуренция влияет на скорость снижения числ.-ти любой популяции, которая пропорциональна произведению их численности х*у.
Добавим слагаемые с отрицательными коэффициентами пропорциональности - . В уравнениях (5) получим систему, описывающую конкуренцию:
(6)
В этой системе , , , , , положительные.
(7)
(0;0) (0; ) ( ;0) Предположим, что уравнение имеет единственное решение, и составим точки равновесия в первом квадранте. Надо найти точку ( ), эта точка представляет возможность сосуществования двух видов с постоянными не равными 0, равновесными численными популяций и . Устойчивость этой точки зависит от того, какое из равенств выполняется:
(8)
(8) имеет единственную интерпретацию.
Из (5) видно, что коэффициенты и оказывают задерживающее влияние на рост численности каждой популяции. С другой стороны, и представляют эффект конкуренции м/у этими двумя популяциями, следовательно, произведение - это мера подавления, а - мера конкуренции.
Общий анализ системы (6) показывает следующее:
Если так, что конкуренция незначительна по сравнению с подавлением, то точка ) – устранимая точка равновесия, которая приближает каждое решение при t , т.о. оба вида могут сосуществовать.
Если так, что конкуренция доминирует, то точка ) – неустойчивая точка равновесия и либо х(t) , либо у(t) при t , т.е. 2 вида не могут сосуществовать