Метод Гаусса
Рассмотрим один из методов численного интегрирования, в котором расположение узлов и весов выбирается специальным образом. Это позволяет значительно снизить погрешность получаемых результатов. В связи с этим такие методы именуются методами наивысшей точности.
Рассмотрим интегрирование в области от –1 до +1, тогда
(7.18)
Специальный
выбор узлов связан с тем, что
-
это корни полинома Лежандра степени n,
а веса
- получаются из решения системы нелинейных
уравнений. Полиномы Лежандра имеют
следующий вид
(7.19)
Например, для
n=2
,
а корни равны соответственно
.
Для n=3
, корни этого полинома
,
0 и
.
Весовые коэффициенты можно найти из следующего соотношения
(7.20)
Например, при
n=2
,
а при n=3
При программировании значения узлов и весов удобно хранить в виде массива данных, поэтому следующая таблица будет весьма полезна:
n=6
n=8
Нами рассмотрена квадратурная формула (18) для интервала [-1,1]. Перейдем к другим пределам интегрирования
(7.21)
где
;
.
Теперь написать подпрограмму не
составит труда
function Int_G3(a,b:real; f: fun):real;
const n=3;
t : array[1..3] of real = (-0.93244695142, -0.6612093865, -0.2386191861);
w : array[1..3] of real = ( 0.1713244924, 0.3607615730, 0.4679139346);
var alfa,beta,s:real; k:integer;
begin
s:=0; beta:=0.5*(a+b); alfa:=0.5*(b-a);
for k:=1 to n do
s:=s+w[k]*( f ( beta+alfa*t[k] ) + f ( beta - alfa*t[k] ) );
Int_G3:=s*alfa
end;
Вычислим интеграл
:
Представим вычисления в пакете Excel. Значения функции представим в сеточном виде для более удобного их применения (табл.7.1.).
Таблица 7.1. Значение функции
-
i
xi
f(xi)
0
0
0
1
0,314159265
0,309016994
2
0,628318531
0,587785252
3
0,942477796
0,809016994
4
1,256637061
0,951056516
5
1,570796327
1
6
1,884955592
0,951056516
7
2,199114858
0,809016994
8
2,513274123
0,587785252
9
2,827433388
0,309016994
10
3,141592654
0
По методу прямоугольников значение интеграла функции равно 1.983523538.
По методу трапеций значение интеграла функции равно 1.983523538.
По методу парабол (Симпсона)значение интеграла функции равно 2.00010952.
Таким образом , метод парабол дает самые точные значения.
Представим данные вычисления в пакете MathCAD.
