§ 1. Понятие формулы исчисления высказываний.
Исчисление высказываний – это аксиоматическая логическая система, интерпретацией которой является алгебра высказываний.
Описание всякого исчисления включает в себя описание символов этого исчисления (алфавита), формул, являющихся конечными конфигурациями символов, и определение выводимых формул.
Алфавит исчисления высказываний состоит из символов трех категорий:
Символы первой категории:
Эти
символы будем называть переменными
высказываниями.
Символы второй категории:
они носят общее название логических
связок. Первый из них – знак дизъюнкции
или логического сложения, второй –
знак конъюнкции или логического
умножения, третий – знак импликации
или логического следования и четвертый
– знак отрицания.Третью категорию составляет пара символов ( ), называемая скобками.
Других символов исчисление высказываний не имеет.
Формулы исчисления высказываний представляют собой последовательности символов алфавита исчисления высказываний. Для обозначения формул будем пользоваться большими буквами латинского алфавита. Эти буквы не являются символами исчисления. Они представляют собой только условные обозначения формул.
Определение формулы исчисления высказываний.
Всякая переменная
является формулой.Если А и В- формулы , то слова
- тоже формулы.Никакая другая строчка символов не является формулой.
Переменные высказывания будем называть элементарными формулами.
Приведем примеры формул исчисления высказываний.
Переменные
высказывания
являются формулами согласно п.1
определения формулы. Но тогда слова
являются формулами согласно п.2
определения. По этой же причине будут
формулами слова:
Очевидно, не
являются формулами слова:
поскольку одни из них не взяты в скобки,
в других скобка лишь одна,…
Одновременно с понятием формулы вводится понятие подформулы или части формулы.
1. Подформулой элементарной формулы является она сама.
Если формула имеет вид
,
то ее подформулами являются: она сама,
формула А и все подформулы формулы А.Если формула имеет вид (А*В)(здесь и в дальнейшем под символом * будем понимать любой из трех символов
),
то ее подформулами являются: она сама,
формулы А и В и все подформулы формул
А и В.
Например, для
формулы
ее подформулами будут:
- подформула нулевой глубины,
-подформулы первой
глубины,
-подформулы второй
глубины,
-подформулы
третьей глубины,
-подформула четвертой глубины.
Таким образом, по мере “погружения вглубь структуры формулы” мы выделяем подформулы все большей глубины.
Очевидно, что на самой большой глубине находятся лишь элементарные формулы. Однако элементарные формулы могут быть и на других глубинах.
Введем в запись формул некоторые упрощения. Будем опускать в записи формул скобки по тем же правилам, что и в алгебре высказываний.
В связи с этими
правилами формулы
будем писать
соответственно.
§ 2. Определение доказуемой (выводимой) формулы.
Следующим этапом в построении исчисления высказываний является выделение класса доказуемых (выводимых) формул.
Определение доказуемых формул имеет тот же характер , что и определение формулы.
Сначала определяются исходные доказуемые выводимые формулы (аксиомы), а затем определяются правила вывода, которые позволяют из имеющихся доказуемых формул получить новые доказуемые формулы.
Образование доказуемой формулы из исходных доказуемых формул путем применения правил вывода называется выводом (доказательством) данной формулы из аксиом.В основу исчисления высказываний могут быть положены различные системы аксиом, эквивалентные между собой в том смысле, что определяемый ими класс выводимых формул – один и тот же. Рассмотрим одну из них.
Система аксиом исчисления высказываний.
Система аксиом исчисления высказываний состоит из 11 аксиом (по сути представляющих собой тождественно истинные формулы алгебры логики), которые делятся на четыре группы.
Первая группа аксиом (содержащая только импликацию).
:
.
:
.
Вторая группа аксиом (к импликации присоединилась конъюнкция):
:
:
.
:
.
Третья группа аксиом (к импликации присоединилась дизъюнкция):
:
:
:
.
Четвертая группа аксиом (к импликации присоединилось отрицание):
:
:
:
