§10. Уравнение прямой в пространстве.

Прямую в пространстве можно задать

а ) с помощью точки A_o l и ненулевого вектора a;\s\up8(( l, который называется направляющим вектором прямой; тогда можем написать, что

l ={M AoM;\s\up10( –( a;\s\up8((}; (_*)

б ) как пересечение двух плоскостей l = ₁ ₂ ; в этом случае l будет задаваться системой из двух уравнений (см. §1); это равносильно заданию точки A_o l и двух векторов перпендикулярных прямой.

Задать прямую в пространстве с помощью одного вектора нормали нельзя:

через данную точку перпендикулярно данному вектору проходит бесконечно много прямых.

Теорема 6. 1. Прямая l, проходящая через точку A_o(x_o, y_o, z_o), параллельно вектору a;\s\up8(((a₁, a₂, a₃) задается уравнением

= = ^, (28 )

(каноническое уравнение), или параметрическими уравнениями

x = x_o + a₁t ,

y = y_o + a₂ t , (29 )

z = z_o + a₃ t , tR ,

которые можно записать в векторном виде: r;\s\up8(( = ro;\s\up8((+ ta;\s\up8((, tR , где ro;\s\up8(( = OAo;\s\up10( –(– радиус-вектор точки A_o.

2. Прямая, проходящая через две точки A_o(x_o, y_o, z_o) и A₁(x₁, y₁, z₁), задается уравнением

= = , (30 )

3. Прямая, проходящая через точку A_o(x_o, y_o, z_o), перпендикулярно двум векторам нормали n1;\s\up8(( (A₁, B₁, C₁) и n2;\s\up8(( (A₂, B₂, C₂) задается в декартовой СК системой уравнений

(31)

A₁(x – x_o) + B₁(y – y_o) + C₁(z – z_o) = 0,

A₂(x – x_o) + B₂(y – y_o) + C₂(z – z_o) = 0.

Доказательство. 1, 2. Доказательство этих пунктов дословно повторяет доказательство пунктов 1 и 2 из теоремы 1, с той лишь разницей, что у всех точек и векторов добавляется еще третья координата.

3 . Первое из уравнений системы (31) задает плоскость ₁, проходящую через точку A_o, перпендикулярно вектору n1;\s\up8(( , а второе уравнение – плоскость ₂, проходящую через точку A_o , перпендикулярно вектору n2;\s\up8(( . Пересечение этих плоскостей и задает нашу прямую.

§11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Пусть плоскость  задана общим уравнением, а прямая l – каноническим уравнением:

: Ax +By +Cz +D = 0 , l: = = ^.

Тогда сразу можем отметить, что n;\s\up8(–((A, B, C) – это вектор нормали к плоскости , a;\s\up8(((a₁, a₂, a₃) – направляющий вектор прямой l и точка A_o(x_o, y_o, z_o) l.

Для удобства изложения, в этом параграфе будем считать, что l – это частный случай l .

Т еорема 7. 1. l  Aa₁+ Ba₂ + Ca₃ = 0, (32.1)

Ax_o+By_o+Cz_o+D = 0, (32.2)

2 . l  и l  Aa₁+ Ba₂ + Ca₃ = 0, (32.1)

Ax_o+By_o+Cz_o+D ≠ 0, (32.3)

3. l  = = ^{. (33)}

4. Угол между l и  вычисляется по формуле

sin  = = . (34)

Д оказательство. 1,2. Очевидно, что l   a;\s\up8(( n;\s\up8((  n;\s\up8(( · a;\s\up8((= 0, а именно это и означает равенство (32.1). При этом, если выполнено (32.2), то A_o(x_o, y_o, z_o)  , а значит, и вся прямая будет лежать в плоскости. Если выполнено (32.3) , то A_o , а значит, и l.

3. Очевично, что l  a;\s\up8(( n;\s\up8((, а (33) как раз представляет собой условие коллинеарности этих векторов.

4. Напомним, что углом меж-ду прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Поэтому, если  – угол между l и , то 0    /2, и sin   0.

О бозначим  = ( a;\s\up8((, n;\s\up8(( ). Тогда возможны два случая:  = /2 –  или  =  – /2 . Оба случая изображены на рисунках.

В первом случае имеем

sin  = cos  = ,

а во втором случае –

sin  = – cos  =cos  = .

Э та формула подойдет и к первому случаю.