- •Лекция 2 статистическая физика
- •9.Функции распределения
- •Основу статистической физики составляет теория вероятностей
- •9.1. Микросостояние. Вероятность. Средние значения
- •9.2. Распределение Максвелла
- •9.3. Распределение молекул по модулям скорости
- •Наиболее вероятной скорости
- •9.4. Формула Максвелла в приведенном виде
- •5.3.5. Распределение по энергиям молекул
- •9.6. Опытная проверка распределения Максвелла
- •9.7. Распределение Больцмана
- •9.8. Барометрическая формула
- •9.9. Распределение Больцмана при дискретных уровнях
- •10.10. Закон распределения Максвелла—Больцмана
9.2. Распределение Максвелла
Закон распределения по скоростям молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии, был найден Максвеллом (1859).
Рассмотрим физический смысл закона Максвелла и некоторых его следствий.
Представим себе
- пространство скоростей с прямоугольными координатными осями, по которым будем откладывать значения проекций отдельных молекул.
- Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве — конец вектора .
- Из-за столкновений молекул положения точек будут стремительно меняться, но их распределение в целом будет оставаться неизменным, поскольку макросистема находится в термодинамическом равновесии.
В
Рис.3.
Пусть макросистема (газ) содержит N молекул.
Выделим в некоторой точке — конце вектора — малый объем
(рис. 3, где ось направлена на нас).
Относительное число точек (молекул) в этом объеме, или другими словами,
1. вероятность dP того, что скорость молекулы, т.е. конец вектора , попадет в этот объем, можно записать так:
, (2)
где имеет смысл объемной плотности вероятности.
Вероятность же того, что молекула (точка) будет иметь проекции скорости в интервале ( ),
есть , (3)
где — функция распределения по .
Выражение (3) — это по существу интеграл (2) по и , т.е. относительное число молекул (точек) в тонком плоском слое от до + d .
3. Вероятности того, что молекула имеет проекции скорости в интервалах ( , +d ), ( и ( ) являются независимыми, поэтому в соответствии с теоремой об умножения вероятностей независимых событий можно записать
(4)
Из соображения равноправия осей , и ясно, что функции φ должны одинаковым образом зависеть от соответствующих проекций скоростей. Сопоставив (4) с (2), находим
. (5)
После преобразований (с учетом условия нормировки) получаем
,
аналогичный вид имеют функции и .
И тогда согласно (5) . (6)
рис. 4. График функции
Он совпадает с гауссовой кривой погрешностей. Площадь тонированной полоски на рис. 4 — это вероятность того, что проекция скорости молекулы лежит в интервале ( , +d ).
Функция (6) нормирована на единицу,
т.е. площадь под кривой
Интегрирование в пределах от -∞ до +∞ не означает, что в газе есть молекулы с такими большими скоростями. Это следует рассматривать только как вычислительный прием. Молекул с весьма большими скоростями очень мало, и они практически не вносят никакого вклада в нормировочный интеграл. Это и позволяет записывать такие пределы.
9.3. Распределение молекул по модулям скорости
Найдем вероятность или относительное число молекул, модуль скорости которых заключен в интервале ( ).
р ис. 5. Таким молекулам
соответствуют все точки, попадающие в шаровой слой с радиусами и .
Объем этого слоя равен произведению поверхности слоя на его толщину, т.е.
объемная же плотность вероятности во всех точках слоя одинакова. Рис 5 рис. 6
вероятность попадания в этот слой согласно теореме сложения вероятностей,
Величина характеризует искомую вероятность, т.е
.
Учитывая (6), получим: . (7)
Эта формула представляет собой закон распределения Максвелла по модулю скорости.
Вид функции показан на рис. 6.
Эта функция тоже нормирована на единицу; .
На рис.6 пунктиром представлена “конструкция” (сомножители) функции , один из сомножителей которой .
Заметим, что в отличие от площадь под кривой физического смысла не имеет.
Полученные Максвеллом распределения по скоростям не зависят
ни от структуры молекул,
ни от того, как они взаимодействуют друг с другом.
Поэтому они применимы не только к газам, но и к другим агрегатным состояниям вещества.
Рассмотрим характерные скорости. К ним относятся три скорости:
наиболее вероятная ,
средняя ,
среднеквадратичная .