§ 4. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования
Пусть функции
и
определены и непрерывны в некоторой
открытой области
и имеют в ней непрерывные частные
производные
и
.
Мы будем рассматривать кривые, целиком
лежащие в области
и допускающие представление
,
,
при нём функции
и
непрерывны и имеют непрерывные производные
и
при любом
.
Определение
1. Говорят, что интеграл
не зависит от пути интегрирования,
если результаты интегрирования по любой
кривой, соединяющей точки
и
,
совпадают, т.е. если (рис. 8).
.
Замечание. Интегралы, не зависящие от пути интегрирования, иногда записывают так:
,
где
и
,
а под кривой, по которой ведется
интегрирование, понимаем любую кривую
,
лишь бы на ней не нарушались условия
теоремы существования криволинейного
интеграла.
Определение
2. Говорят, что интеграл
по замкнутому контуру равен нулю,
если для любого замкнутого
самонепересекающегося контура
,
целиком лежащем в
,
оказывается
.
Лемма. Определения 1 и 2 эквивалентны.
1. Докажем , что если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то тогда по любому замкнутому контуру он равен нулю (рис. 8).
Действительно пусть
Отсюда следует:
Теперь достаточно только обозначить
замкнутую кривую
буквой
и оказывается
.
2. Второе утверждение: Если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то он не зависит от пути интегрирования, доказывается аналогично, для чего достаточно разбить замкнутый контур на два участка.
(Докажите самостоятельно).
Теорема 1. Для того, чтобы интеграл не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке области было выполнено условие
. (1)
Доказательство. Достаточность. Допустим, что в каждой точке области выполнено условие (1). Возьмём замкнутый самонепересекающийся контур , лежащий в и ограничивающий область (рис. 9). По формуле Грина
.
Т
ак
как выполнено условие (1) , то
,
а тогда в силу леммы криволинейный
интеграл
не зависит от пути интегрирования.
Необходимость.
Допустим, что условие (1) не выполнено
всюду в
и пусть найдётся некоторая точка
,
в которой
.
Пусть для определённости в этой точке
.
Так как частные производные
и
непрерывны, то можно найти круг
с центром в точке
столь малого радиуса
,
что последнее неравенство во всех точках
области
.
Пусть
- контур области
.
Для этой области справедлива формула
Грина, но т.к. в каждой точке области
,
то двойной интеграл