- •Элементы теории погрешностей
- •1. Источники погрешности при решении задач на э в м
- •2. Основные понятия теории погрешностей
- •3. Округление
- •4. Оценка погрешности по способу границ Способ границ применяется для оценки погрешности результата расчёта по формуле, содержащей приближённые величины.
- •Случай двух исходных данных
- •Контрольные вопросы.
Элементы теории погрешностей
Лабораторная работа №1
Цель: изучение основных понятий теории погрешностей, формирование практических навыков работы с приближёнными величинами
Краткая теория
1. Источники погрешности при решении задач на э в м
Анализ погрешностей является неотъемлемой частью процесса решения прикладной задачи.
На общую погрешность задачи влияет целый ряд факторов. Отметим основные из них, рассмотрев общий ход решения задачи – от построения математической модели до производства вычислений.
Пусть R – точное значение результата решения некоторой задачи. Из-за несоответствия построенной математической модели реальной ситуации, а также по причине неточности исходных данных вместо R будет получен результат, который обозначим R1. Образовавшаяся таким образом погрешность ε1 = R – R1 уже не может быть устранена в ходе последующих вычислений (так называемая неустранимая погрешность).
Приступив к решению задачи в рамках математической модели, мы избираем приближенный (например, численный) метод и, еще не приступив к вычислениям, допускаем новую погрешность, приводящую к получению результата R2 (вместо R1). Погрешность ε2 = R2 – R1 называют погрешностью метода.
Действия над числами вносят дополнительную погрешность. Например, если складывать два числа с одинаковыми погрешностями, то погрешность суммы будет, вообще говоря, больше погрешности каждого из слагаемых. Это обстоятельство, а также неизбежность округлений (в случае использования ЭВМ принудительное округление диктуется конечностью разрядной сетки машины) приводят к получению результата R3, отличающегося от R2 на величину вычислительной погрешности ε3 = R3 – R2.
Полная погрешность ε, очевидно, получается как сумма всех погрешностей:
ε = R - R3 = (R – R1) + (R1 - R2) + (R2 – R3) = ε1 +ε2 +ε3.
При решении конкретных задач те или иные виды погрешностей могут отсутствовать или незначительно влиять на окончательный результат. Тем не менее, для исчерпывающего представления о точности окончательного результата в каждом случае необходим полный анализ погрешностей всех видов. Это в полной мере относится и к неустранимой погрешности – погрешности математической модели. Располагая несовершенной математической моделью, вычислитель должен каким-то способом составить представление о величине неустранимой погрешности. Понятно, что в условиях слишком грубой модели не имеет смысла проводить утонченный анализ вычислительных ошибок. Отсюда следует, что оценка неустранимой погрешности может послужить веским доводом для снижения требований к точности последующих вычислений, что, в свою очередь, может сделать их менее трудоемкими.
2. Основные понятия теории погрешностей
Пусть x – точное значение некоторой величины, a — наилучшее из известных приближений. В этом случае ошибка (или погрешность) приближения х определяется разностью x - a. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают абсолютную величину ошибки:
которую называют абсолютной погрешностью величины x. Кроме абсолютной погрешности часто используется относительная погрешность, которая определяется как отношение
= ,
Относительную погрешность обычно выражают в процентах. Приведённые выражения для a и a практически не могут быть использованы, так как истинное значение величины x неизвестно. Поэтому для оценки точности приближённых чисел находят предельную абсолютную погрешность , являющуюся верхней a оценкой . Это значение определяется неоднозначно. Обычно стремятся указать число, наименьшее из возможных.
Если в приведённом выше выражении для относительной погрешности заменить абсолютную погрешность на предельную, то получим соотношение, определяющее предельную относительную погрешность.
=
Говоря в дальнейшем о погрешности приближённых величин, будем иметь в виду их предельные погрешности, т.е. =
Если известны a и a, то принято записывать: x = a a. Это означает, что точное неизвестное значение х принадлежит промежутку от a – a до a + a.
Приближения к точному значению по недостатку и по избытку позволяет установить нижнюю и верхнюю границы.
Любая пара чисел НГ и ВГ такая, что называется соответственно нижней и верхней границами приближённой величины .