8. Криволинейный интеграл II рода.

Криволинейный интеграл по координатам (или криволинейный интеграл II рода) от выражения по дуге кривой L имеет вид: .

Пример 8.

Вычислить криволинейный интеграл , где L – дуга параболы от точки до точки .

9. Формула Грина.

Если D – некоторая замкнутая область на плоскости , ограниченная контуром L, и на ней заданы функции и , непрерывные на D вместе со своими частными производными и , то имеет место формула Грина

.

Пример 9.

Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл , где - окружность .

,

, .

Следовательно,

, где D – круг . Перейдём к полярным координатам , , , уравнение окружности:

10. Нахождение функции по её полному дифференциалу.

Область G на плоскости называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области G.

Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от линии интегрирования , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках односвязной области D соблюдалось равенство

. (11)

Выполнение условия (11) в области D приводит к следующему условию: выражение является полным дифференциалом некоторой функции , . Функция может быть найдена по формуле

, (12)

где - любая фиксированная точка области D, - переменная точка.

Пример 10.

Найти функцию ,

если .

Нетрудно убедиться, что условие (11) выполняется. Действительно,

Для вычисления функции воспользуемся формулой (12):

Таким образом,

Индивидуальные задания

1. Изменить порядок интегрирования:

1.1		1.2
1.3		1.4
1.5		1.6
1.7		1.8
1.9		1.10
1.11		1.12
1.13		1.14
1.15		1.16
1.17		1.18
1.19		1.20
1.21		1.22
1.23		1.24
1.25		1.26
1.27		1.28
1.29		1.30

2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной заданными линиями:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

3. Перейдя к полярной системе координат, вычислить двойной интеграл:

1. - первый лепесток кривой ;

2. 

3. - один лепесток кривой ;

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

4. Вычислить площади плоских фигур, ограниченных данными линиями:

1. , , , ;

2. , ;

3. , ;

4. первый лепесток кривой ;

5. , ;

6. , , , ;

7. , ;

8. , ;

9. , ;

10. ;

11. , ;

12. , ;

13. , ;

14. , , , ;

15. , ;

16. , ;

17. , , , ;

18. , , ;

19. , , ;

20. , ;

21. , , ;

22. , , , ;

23. , ;

24. , ;

25. , , , ;

26. , ;

27. , ;

28. , ;

29. , , вне параболы;

30. , , .

5. Вычислить тройной интеграл по области , ограниченной указанными поверхностями:

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , ;

9. , ;

10. , ;

11. , ;

12. , ;

13. , ;

14. , ;

15. , ;

16. , ;

17. , ;

18. , ;

19. , ;

20. , ;

21. , ;

22. , ;

23. , ;

24. , ;

25. , ;

26. , ;

27. , ;

28. , ;

29. , ;

30. ,

6. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

1. , , ;

2. , , , , ;

3. , , ;

4. , , ;

5. , , ;

6. , , , ;

7. , , , , ;

8. , , ;

9. , , ;

10. , , ;

11. , , , ;

12. , , , ;

13. , , , , ;

14. , , ;

15. , , , ;

16. , , ;

17. , , , , ;

18. , , , ;

19. , , ;

20. , ;

21. , , , ;

22. , , , ;

23. , , , , ;

24. , , ;

25. , , ;

26. , , , ;

27. , , , , ;

28. , , , , ;

29. , , ;

30. , , , , .

7. Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

1. , - контур треугольника с вершинами , , ;

2. ,

3. ,

4. ,

5. , - замкнутый контур, ограниченный линиями , , , ;

6. , - отрезок прямой от точки до ;

7. ,

8. , - дуга линии от точки до ;

9. , - отрезок прямой от точки до ;

10. , - дуга , , ;

11. , - отрезок прямой от точки до ;

12. , ;

13. , - контур параллелограмма с вершинами , , , ;

14. , - отрезок прямой от точки до ;

15. , - первый виток винтовой линии , , ;

16. , - отрезок прямой от точки до ;

17. , - отрезок прямой от точки до ;

18. ,

19. , - контур треугольника с вершинами , , ;

20. , - отрезок прямой от точки до ;

21. , - отрезок прямой от точки до ;

22. ,

23. , - отрезок прямой от точки до ;

24. , - дуга линии от точки до точки ;

25. , - контур треугольника с вершинами , , ;

26. ,

27. ,

28. , - контур треугольника с вершинами , , ;

29. , - контур треугольника с вершинами , , ;

30. , - коническая винтовая линия

8. Вычислить криволинейный интеграл второго рода:

1. ,

2. , ;

3. ;

4. 

5. 

6. 

7. - контур треугольника с вершинами , , ;

8. , - ломаная ОАВ, где , , ;

9. , - отрезок прямой от точки до ;

10. ,

11. 

12. - контур треугольника с вершинами , , ;

13. - ломаная ОАВ, где , , ;

14. 

15. - дуга линии от точки до точки ;

16. - дуга линии от точки до точки ;

17. 

18. - отрезок прямой от точки до ;

19. 

20. - дуга линии от точки до точки ;

21. 

22. 

23. 

24. 

25. - контур треугольника с вершинами , , ;

26. 

27. - контур треугольника с вершинами , , ;

28. 

29. - дуга линии от точки до ;

30. - дуга линии от точки до .

9. Вычислить криволинейный интеграл с помощью формулы Грина:

1. - контур, образованный линиями , ;

2. - контур, образованный линиями , , ;

3. ;

4. - контур треугольника с вершинами , , ;

5. ;

6. - контур, образованный линиями , , ;

7. - контур, образованный линиями , ;

8. - контур, образованный линиями , , ;

9. - контур треугольника с вершинами , , ;

10. ;

11. - контур, образованный линиями , , ;

12. - контур треугольника с вершинами , , ;

13. - контур, ограничивающий область , ;

14. 

15. - контур треугольника с вершинами , , ;

16. 

17. - контур, образованный линиями , , ;

18. 

19. - контур, ограничивающий область , ;

20. - контур, образованный линиями , ;

21. - контур, ограничивающий область , ;

22. - контур треугольника с вершинами , , ;

23. - контур треугольника с вершинами , , ;

24. 

25. - контур, образованный линиями , ;

26. - контур, образованный линиями , ;

27. - контур, образованный линиями , ;

28. - контур, образованный линиями , ;

29. 

30. - контур, образованный линиями , .

10. Найти функцию по её полному дифференциалу:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

26