2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Это очевидный факт, и доказательство его приводить не будем.

3. Если поменять местами две строки определителя, то получим новый определитель, равный исходному, умноженному на .

Доказательство. Пусть определитель

(11)

получен из определителя (6) путём транспозиции i-й и j-й строк. Если (8) есть одно из слагаемых, составляющих определитель (6), то (8) также является одним из слагаемых, составляющих определитель (11), так как в этом произведении все сомножители стоят в разных строках и разных столбцах. Рассмотрим произвольный член исходного определителя (6). Пусть индексы входящих в него сомножителей составляют подстановку

, (12)

Произведение тех же сомножителей войдёт слагаемым в сумму, образующую определитель (11), так как все сомножители стоят в разных строках и разных столбцах. Только теперь индексы этих сомножителей будут образовывать подстановку

(13)

Последняя подстановка получается из предыдущей подстановки одной транспозицией в верхней строке, и, следовательно, имеет противоположную чётность. Из сказанного следует, что все произведения, составляющие определитель (6), входят и в определитель (11), но с противоположными знаками, и свойство 3 можно считать доказанным.

4. Определитель, имеющий две равных строки, равен нулю.

Это следует из того, что, поменяв местами две равных строки в определителе, по предыдущему свойству мы должны получить новый определитель, равный исходному с противоположным знаком. Однако, такое преобразование, очевидно, не должно изменить исходный определитель, то есть, если исходный определитель равен d, то мы приходим к уравнению d = – d с единственным корнем d = 0.

5. Если одну из строк определителя умножить на какое-либо число, то получится определитель, равный исходному определителю, умноженному на это число.

Справедливость этого положения непосредственно следует из определения определителя.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Это сразу следует из двух предыдущих свойств.

7. Если в определителе все элементы i-й строки являются суммами двух слагаемых:

,

то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из них состоит из элементов , в другом – из элементов .

Для доказательства этого свойства достаточно выписать в общем виде произведение, составляющее исходный определитель:

Прежде чем перейти к следующему свойству, введём определение. Пусть имеются объекты (ими могут быть, например, матрицы, вектора, функции и др.) , ₁, ₂,, _п. Будем говорить, что  является линейной комбинацией ₁, ₂,, _п, если существует такой набор чисел , что .

8. Если в определителе одна из строк является линейной комбинацией других строк, то определитель равен нулю.

Это свойство следует из свойств 6 и 7.

9. Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и линейной комбинации других строк, то полученный новый определитель будет равен исходному определителю.

Это следует из свойств 6 и 8.

Квадратная матрица п-го порядка, у которой все элементы под главной диагональю равны нулю, называется верхнетреугольной матрицей.

Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению чисел, стоящих на главной диагонали. Это очевидно, так как в каждом произведении обязательно должен быть элемент первого столбца, следовательно, в ненулевом произведении должен быть множитель а₁₁. Тогда среди ненулевых множителей второго столбца может быть выбран только множитель а₂₂, так как элемент первой строки а₁₁ уже присутствует среди сомножителей. Двигаясь по столбцам дальше, приходим к заключению, что в ненулевом произведении должны присутствовать сомножители а₃₃, а₄₄ и т. д.

Последнее заключение даёт возможность (пользуясь свойствами определителя) вычислять определители любого порядка, приводя матрицу элементарными преобразованиями к верхнетреугольному виду.

1 Если говорить строго, то из (1) и (2) следует, что если решение существует, то оно единственным образом выражается через коэффициенты системы и свободные члены. Чтобы доказать существование, надо подставить две формулы (3) в систему и убедиться в том, что оба уравнения обращаются в верные равенства.

2 Докажите сами, что таких произведений, отличающихся одно от другого набором элементов существует ровно n!